杜利特尔方程英文解释翻译、杜利特尔方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 Doolittle equation

分词翻译：

杜的英语翻译：

prevent; shut out; stop

利的英语翻译：

benefit; favourable; profit; sharp

特的英语翻译：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

尔的英语翻译：

like so; you

方程的英语翻译：

equation

专业解析

杜利特尔方程（Doolittle's Method）是求解线性方程组的一种数值算法，属于LU分解（LU Decomposition）的一种特例。该方法将系数矩阵分解为一个单位下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积，即 ( A = LU )，其中L的对角线元素均为1。该名称源于其提出者Myrick H. Doolittle。

核心概念

矩阵分解：杜利特尔方程的核心是将系数矩阵 ( A ) 分解为： [ A = LU ] 其中：
- ( L ) 是单位下三角矩阵（对角线元素为1），
- ( U ) 是上三角矩阵。例如： [ A = begin{bmatrix} a{11} & a{12} & a{13} a{21} & a{22} & a{23} a{31} & a{32} & a{33} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l{21} & 1 & 0 l{31} & l{32} & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} u{11} & u{12} & u{13} 0 & u{22} & u{23} 0 & 0 & u{33} end{bmatrix} ]
求解步骤：
- 分解阶段：通过高斯消去法（无行交换）计算 ( L ) 和 ( U ) 的元素。
- 前向替换：解 ( Ly = b ) 得到中间向量 ( y )。
- 后向替换：解 ( Ux = y ) 得到最终解 ( x )。

应用场景

杜利特尔方程适用于需要重复求解同一系数矩阵、不同右侧向量的线性方程组（如电路分析、结构力学），因为分解后的 ( L ) 和 ( U ) 可重复使用，大幅减少计算量。

术语中英对照

中文术语	英文术语
杜利特尔方程	Doolittle's Method
LU分解	LU Decomposition
单位下三角矩阵	Unit Lower Triangular Matrix
上三角矩阵	Upper Triangular Matrix
前向替换	Forward Substitution
后向替换	Backward Substitution

权威参考文献

《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》
Press, W.H., et al. (2007). Cambridge University Press.

链接

（第2.3章详细讨论LU分解及杜利特尔实现）

《Matrix Computations》
Golub, G.H., & Van Loan, C.F. (2013). Johns Hopkins University Press.

链接

（经典教材，涵盖分解算法的稳定性分析）

美国国家标准与技术研究院（NIST）数学库指南
Doolittle分解实现示例

（提供算法伪代码与数值稳定性说明）

数学表达

分解公式可通过以下递推关系实现： $$ u{ij} = a{ij} - sum{k=1}^{i-1} l{ik} u{kj}, quad (i leq j) $$ $$ l{ij} = frac{a{ij} - sum{k=1}^{j-1} l{ik} u{kj}}{u_{jj}}, quad (i > j) $$

网络扩展解释

杜利特尔方程（Doolittle method）是线性代数中用于求解线性方程组的一种数值方法，属于矩阵三角分解法（LU分解）的范畴。其核心思想是将系数矩阵分解为一个单位下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积，从而简化方程求解过程。以下是详细解释：

1. 基本定义

杜利特尔分解：对于方阵 ( A )，若存在分解 ( A = LU )，其中：
- ( L ) 是单位下三角矩阵（对角线元素为1，上三角元素为0）；
- ( U ) 是上三角矩阵（下三角元素为0），则称此分解为杜利特尔分解。

2. 分解步骤

以四阶矩阵为例，分解形式如下： $$ A = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 l{21} & 1 & 0 & 0 l{31} & l{32} & 1 & 0 l{41} & l{42} & l{43} & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} u{11} & u{12} & u{13} & u{14} 0 & u{22} & u{23} & u{24} 0 & 0 & u{33} & u{34} 0 & 0 & 0 & u{44} end{pmatrix} $$

计算顺序：逐行（或逐列）交替计算 ( U ) 和 ( L ) 的元素，利用矩阵乘法规则展开方程组求解。

3. 应用场景

杜利特尔分解主要用于解线性方程组 ( Ax = b )，步骤如下：

分解阶段：将 ( A ) 分解为 ( L ) 和 ( U )；
前代法：解 ( Ly = b ) 得到中间向量 ( y )；
回代法：解 ( Ux = y ) 得到最终解 ( x )。

4. 优势与特点

存储优化：分解过程中，( L ) 和 ( U ) 的元素可紧凑存储在原始矩阵 ( A ) 的存储空间中，节省内存。
计算效率：适用于需要多次求解不同右端项 ( b ) 的情况，分解只需进行一次。

5. 与其他分解法的区别

克劳特分解（Crout）：与杜利特尔分解相反，( L ) 是普通下三角矩阵，( U ) 是单位上三角矩阵。
选主元策略：部分实现会结合选主元（如部分选主元）以提高数值稳定性。

若需具体算法实现或代码示例，中提到的C++代码或压缩包资源。