歐拉多面體公式英文解釋翻譯、歐拉多面體公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Euler polyhedron formula

分詞翻譯：

歐拉的英語翻譯：

【計】 EULER

多面體的英語翻譯：

polyhedron

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

歐拉多面體公式（Euler's Polyhedron Formula）是拓撲學和幾何學中的一項基礎定理，描述了凸多面體的頂點、邊和面之間的數量關系。其标準表述為：

中文定義：

對于任意一個凸多面體，其頂點數（V）、邊數（E）和面數（F）滿足以下恒等式：

$$ V - E + F = 2 $$

英文定義：

For any convex polyhedron, the number of vertices (V), edges (E), and faces (F) are related by:

$$ V - E + F = 2 $$

核心概念解析

適用對象
公式嚴格適用于凸多面體（Convex Polyhedron），即所有内角小于180°、無凹陷的立體圖形，如正四面體、立方體等。非凸多面體可能不滿足此等式。
拓撲學意義
公式揭示了多面體的拓撲不變量：計算結果恒為2的實質是凸多面體拓撲同胚于球面（Genus-0曲面）。對于其他拓撲結構（如環面），公式需修正為：

$$ V - E + F = 2 - 2g $$

其中 ( g ) 為虧格（Genus），表示曲面“洞”的數量。
曆史背景
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）于1758年首次系統闡述該公式（論文《Elementa doctrinae solidorum》），但笛卡爾早于1630年已發現類似結論。現代數學将其視為歐拉示性數（Euler Characteristic）的特例。

實例驗證

以立方體為例：

頂點數 ( V = 8 )
邊數 ( E = 12 )
面數 ( F = 6 )
代入公式： ( 8 - 12 + 6 = 2 )，符合定理。

應用領域

晶體學：分析礦物晶體的幾何結構。
計算機圖形學：三維網格建模中驗證模型完整性。
分子化學：富勒烯等碳結構拓撲分析（如C₆₀分子滿足 ( V - E + F = 2 )）。

參考文獻

Richeson, D. S. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.
Euler, L. (1758). Elementa doctrinae solidorum. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae.
Cromwell, P. R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. (Chapter 9: Topology of Polyhedra)

網絡擴展解釋

歐拉多面體公式是拓撲學中的經典定理，描述了簡單多面體頂點數、棱數和面數之間的恒定關系。以下為詳細解釋：

1.公式定義

公式表述為： $$ V - E + F = 2 $$ 其中：

V（Vertex）：頂點數
E（Edge）：棱（邊）數
F（Face）：面數

該公式適用于簡單多面體，即表面可通過連續變形變為球面的多面體（如立方體、四面體等），不適用于有孔洞或複雜結構的物體（如小星形十二面體）。

2.核心意義：拓撲不變性

公式揭示了多面體的拓撲不變性，即無論多面體如何拉伸、壓縮或彎曲（不撕裂或粘連），其頂點、棱、面的數量關系始終滿足$V-E+F=2$。這一性質成為拓撲學的奠基性成果之一。

3.公式驗證與示例

以常見多面體為例：

正四面體：V=4，E=6，F=4 → $4-6+4=2$
立方體：V=8，E=12，F=6 → $8-12+6=2$
正十二面體：V=20，E=30，F=12 → $20-30+12=2$

4.不適用情況

以下多面體不滿足公式：

環面多面體（如中間有孔洞的立方體）：$V-E+F=0$
小星形十二面體：V=12，E=30，F=12 → $12-30+12=-6$

5.曆史與影響

歐拉在1750年提出該公式，雖笛卡爾曾發現類似結論，但因文獻未公開，最終以歐拉命名。其簡潔性和普適性被譽為“數學中最優美的公式之一”，推動了幾何學向拓撲學的演進。

歐拉公式通過簡單的加減法揭示了多面體的深層拓撲性質，成為連接幾何與拓撲的橋梁。理解其適用範圍（簡單多面體）與例外情況，是掌握該定理的關鍵。