欧拉多面体公式英文解释翻译、欧拉多面体公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Euler polyhedron formula

分词翻译：

欧拉的英语翻译：

【计】 EULER

多面体的英语翻译：

polyhedron

公式的英语翻译：

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

专业解析

欧拉多面体公式（Euler's Polyhedron Formula）是拓扑学和几何学中的一项基础定理，描述了凸多面体的顶点、边和面之间的数量关系。其标准表述为：

中文定义：

对于任意一个凸多面体，其顶点数（V）、边数（E）和面数（F）满足以下恒等式：

$$ V - E + F = 2 $$

英文定义：

For any convex polyhedron, the number of vertices (V), edges (E), and faces (F) are related by:

$$ V - E + F = 2 $$

核心概念解析

适用对象
公式严格适用于凸多面体（Convex Polyhedron），即所有内角小于180°、无凹陷的立体图形，如正四面体、立方体等。非凸多面体可能不满足此等式。
拓扑学意义
公式揭示了多面体的拓扑不变量：计算结果恒为2的实质是凸多面体拓扑同胚于球面（Genus-0曲面）。对于其他拓扑结构（如环面），公式需修正为：

$$ V - E + F = 2 - 2g $$

其中 ( g ) 为亏格（Genus），表示曲面“洞”的数量。
历史背景
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于1758年首次系统阐述该公式（论文《Elementa doctrinae solidorum》），但笛卡尔早于1630年已发现类似结论。现代数学将其视为欧拉示性数（Euler Characteristic）的特例。

实例验证

以立方体为例：

顶点数 ( V = 8 )
边数 ( E = 12 )
面数 ( F = 6 )
代入公式： ( 8 - 12 + 6 = 2 )，符合定理。

应用领域

晶体学：分析矿物晶体的几何结构。
计算机图形学：三维网格建模中验证模型完整性。
分子化学：富勒烯等碳结构拓扑分析（如C₆₀分子满足 ( V - E + F = 2 )）。

参考文献

Richeson, D. S. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.
Euler, L. (1758). Elementa doctrinae solidorum. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae.
Cromwell, P. R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. (Chapter 9: Topology of Polyhedra)

网络扩展解释

欧拉多面体公式是拓扑学中的经典定理，描述了简单多面体顶点数、棱数和面数之间的恒定关系。以下为详细解释：

1.公式定义

公式表述为： $$ V - E + F = 2 $$ 其中：

V（Vertex）：顶点数
E（Edge）：棱（边）数
F（Face）：面数

该公式适用于简单多面体，即表面可通过连续变形变为球面的多面体（如立方体、四面体等），不适用于有孔洞或复杂结构的物体（如小星形十二面体）。

2.核心意义：拓扑不变性

公式揭示了多面体的拓扑不变性，即无论多面体如何拉伸、压缩或弯曲（不撕裂或粘连），其顶点、棱、面的数量关系始终满足$V-E+F=2$。这一性质成为拓扑学的奠基性成果之一。

3.公式验证与示例

以常见多面体为例：

正四面体：V=4，E=6，F=4 → $4-6+4=2$
立方体：V=8，E=12，F=6 → $8-12+6=2$
正十二面体：V=20，E=30，F=12 → $20-30+12=2$

4.不适用情况

以下多面体不满足公式：

环面多面体（如中间有孔洞的立方体）：$V-E+F=0$
小星形十二面体：V=12，E=30，F=12 → $12-30+12=-6$

5.历史与影响

欧拉在1750年提出该公式，虽笛卡尔曾发现类似结论，但因文献未公开，最终以欧拉命名。其简洁性和普适性被誉为“数学中最优美的公式之一”，推动了几何学向拓扑学的演进。

欧拉公式通过简单的加减法揭示了多面体的深层拓扑性质，成为连接几何与拓扑的桥梁。理解其适用范围（简单多面体）与例外情况，是掌握该定理的关键。