歐幾裡得空間英文解釋翻譯、歐幾裡得空間的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Euclidean space

Euclid

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【醫】 keno-; space

歐幾裡得空間（Euclidean space）是數學中基于歐幾裡得幾何公理體系定義的有限維實内積空間，主要用于描述經典物理和幾何學中的平直性結構。其核心特征包括：

内積結構：空間中向量的内積運算$mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_i b_i$，決定了向量的長度和夾角關系，是區分歐幾裡得空間與非歐幾何（如黎曼流形）的關鍵。

該概念起源于歐幾裡得《幾何原本》中對平面和立體幾何的公理化描述，現廣泛應用于計算機圖形學（三維建模）、機器學習（特征空間）和工程學（矢量分析）等領域。現代數學中，其嚴格定義依賴于線性代數和拓撲學理論，強調标準正交基的存在性與空間的完備性。

歐幾裡得空間（Euclidean Space）是數學中用于描述經典幾何學的基本概念，其名稱源于古希臘數學家歐幾裡得在《幾何原本》中建立的幾何體系。以下是詳細解釋：

歐幾裡得空間是有限維的實數向量空間，通常用符號 (mathbb{R}^n) 表示（(n) 為維度）。它的核心特征是引入了歐幾裡得度量（即我們熟悉的“直線距離”）和标準内積，從而能夠定義幾何學中的基本概念，如長度、角度、垂直性等。

點與向量
在 (mathbb{R}^n) 中，每個元素既可以表示為一個點（如坐标 ((x_1, x_2, dots, x_n))），也可以表示為一個向量（從原點到該點的有向線段）。
内積（點積）
兩個向量 (mathbf{u} = (u_1, u_2, dots, u_n)) 和 (mathbf{v} = (v_1, v_2, dots, v_n)) 的内積定義為：
[ mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n ]
内積可用于計算向量間的夾角和投影。
歐幾裡得範數（長度）
向量的長度由内積導出：
[ |mathbf{u}| = sqrt{mathbf{u} cdot mathbf{u}} = sqrt{u_1 + u_2 + dots + u_n} ]
歐幾裡得距離
兩點 (mathbf{u}) 和 (mathbf{v}) 之間的距離為：
[ d(mathbf{u}, mathbf{v}) = |mathbf{u} - mathbf{v}| = sqrt{(u_1 - v_1) + dots + (u_n - v_n)} ]

總結來說，歐幾裡得空間是經典幾何的數學基礎，通過内積和距離定義了直觀的幾何關系，廣泛應用于科學和工程領域。