欧几里得空间英文解释翻译、欧几里得空间的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Euclidean space

Euclid

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【医】 keno-; space

欧几里得空间（Euclidean space）是数学中基于欧几里得几何公理体系定义的有限维实内积空间，主要用于描述经典物理和几何学中的平直性结构。其核心特征包括：

内积结构：空间中向量的内积运算$mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_i b_i$，决定了向量的长度和夹角关系，是区分欧几里得空间与非欧几何（如黎曼流形）的关键。

该概念起源于欧几里得《几何原本》中对平面和立体几何的公理化描述，现广泛应用于计算机图形学（三维建模）、机器学习（特征空间）和工程学（矢量分析）等领域。现代数学中，其严格定义依赖于线性代数和拓扑学理论，强调标准正交基的存在性与空间的完备性。

欧几里得空间（Euclidean Space）是数学中用于描述经典几何学的基本概念，其名称源于古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中建立的几何体系。以下是详细解释：

欧几里得空间是有限维的实数向量空间，通常用符号 (mathbb{R}^n) 表示（(n) 为维度）。它的核心特征是引入了欧几里得度量（即我们熟悉的“直线距离”）和标准内积，从而能够定义几何学中的基本概念，如长度、角度、垂直性等。

点与向量
在 (mathbb{R}^n) 中，每个元素既可以表示为一个点（如坐标 ((x_1, x_2, dots, x_n))），也可以表示为一个向量（从原点到该点的有向线段）。
内积（点积）
两个向量 (mathbf{u} = (u_1, u_2, dots, u_n)) 和 (mathbf{v} = (v_1, v_2, dots, v_n)) 的内积定义为：
[ mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n ]
内积可用于计算向量间的夹角和投影。
欧几里得范数（长度）
向量的长度由内积导出：
[ |mathbf{u}| = sqrt{mathbf{u} cdot mathbf{u}} = sqrt{u_1 + u_2 + dots + u_n} ]
欧几里得距离
两点 (mathbf{u}) 和 (mathbf{v}) 之间的距离为：
[ d(mathbf{u}, mathbf{v}) = |mathbf{u} - mathbf{v}| = sqrt{(u_1 - v_1) + dots + (u_n - v_n)} ]

总结来说，欧几里得空间是经典几何的数学基础，通过内积和距离定义了直观的几何关系，广泛应用于科学和工程领域。