卷積定理英文解釋翻譯、卷積定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convolution theorem

分詞翻譯：

卷的英語翻譯：

roll; volume; examination paper; reel; wrap
【計】 reel; volume
【醫】 roll
【經】 coil

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

卷積定理（Convolution Theorem）是信號處理與系統分析中的核心理論，揭示了時域與頻域運算之間的等效關系。其定義為：兩個函數在時域中的卷積運算，等價于它們在頻域中傅裡葉變換（或拉普拉斯變換）的乘積，反之亦然。數學表達式如下：

$$ mathcal{F}{f * g} = mathcal{F}{f} cdot mathcal{F}{g} $$

其中，$f * g$ 表示時域卷積，$mathcal{F}$ 為傅裡葉變換算子，$cdot$ 為頻域乘積。

漢英術語對照

卷積定理 - Convolution Theorem
時域 - Time Domain
頻域 - Frequency Domain
傅裡葉變換 - Fourier Transform
拉普拉斯變換 - Laplace Transform

應用領域

信號處理：通過頻域乘法實現高效濾波，例如噪聲消除。
圖像處理：卷積核運算（如高斯模糊、邊緣檢測）可轉化為頻域操作以提升計算效率。
通信系統：調制與解調過程依賴頻域等效性簡化設計。

權威參考

數學定義：MathWorld 卷積定理
工程應用：IEEE Xplore 文獻庫中《信號處理基礎》
教材解析：MIT OpenCourseWare《信號與系統》課程講義

該定理通過統一時-頻域分析方法，為跨學科工程問題提供了普適工具，其嚴謹性已被數學與工程學界廣泛驗證。

網絡擴展解釋

卷積定理是信號處理和數學分析中的核心原理，揭示了時域與頻域之間的對應關系。以下是詳細解釋：

一、基本定義

卷積定理指出：兩個函數在時域中的卷積運算，等價于它們在頻域中傅裡葉變換的乘積；反之，時域中的乘積對應頻域中的卷積。這一關系可雙向表達為：

時域卷積定理
$$mathcal{F}{f * g} = mathcal{F}{f} cdot mathcal{F}{g}$$
即兩個函數卷積後的傅裡葉變換等于各自傅裡葉變換的乘積。
頻域卷積定理
$$mathcal{F}{f cdot g} = mathcal{F}{f} * mathcal{F}{g}$$
即兩個函數乘積的傅裡葉變換等于各自傅裡葉變換的卷積。

二、數學意義

運算簡化
将複雜的卷積運算轉化為頻域中的乘積，極大降低計算複雜度。例如信號濾波時，直接時域卷積需$O(N)$時間，而通過傅裡葉變換轉為頻域乘積僅需$O(Nlog N)$。
對偶性
時域與頻域通過傅裡葉變換形成對稱關系，體現了信號在不同維度（時間/頻率）的等價表征。

三、直觀解釋

時域卷積=頻域乘積：若将信號分解為不同頻率的正弦波，卷積相當于調整各頻率分量的幅度和相位，最終效果等同于直接對頻域系數相乘。
向量空間視角：傅裡葉基函數構成正交基，卷積操作可視為在頻域對基向量系數進行加權組合。

四、應用領域

信號處理：如濾波器設計，通過頻域乘積快速實現噪聲消除。
圖像處理：卷積神經網絡（CNN）利用卷積提取特征，頻域加速計算。
物理與工程：在電路分析、波動方程求解中簡化微分方程運算。

公式總結

$$ begin{aligned} text{時域卷積} &xrightarrow{mathcal{F}} text{頻域乘積} text{時域乘積} &xrightarrow{mathcal{F}} text{頻域卷積} end{aligned} $$ 其中$mathcal{F}$表示傅裡葉變換運算符。