【化】 orthogonality of wave functions
波函數正交性是量子力學中的核心概念，指不同量子态對應的波函數在數學上滿足正交條件，反映物理狀态的獨立性。以下是結合漢英詞典視角的詳細解釋：
在量子力學中，若兩個波函數 (psi_m(x)) 和 (psin(x)) 滿足以下積分條件： $$ int{-infty}^{infty} psi_m^*(x) psin(x)dx = delta{mn} $$ 其中 (delta_{mn}) 是克羅内克δ函數（(m=n) 時為1，否則為0），則稱二者正交（Orthogonal）。
正交性确保不同量子态（如能量本征态）相互獨立。例如，氫原子中1s和2p軌道的波函數正交，代表電子出現在這兩個軌道的概率無關聯。
若體系處于态 (psi_m)，測量其能量時不可能得到與 (psi_n) 對應的能量值（(m eq n)），體現了量子測量的排他性。
$$ Psi(x) = sum_n c_n psi_n(x), quad c_n = int psi_n^*(x) Psi(x)dx $$
系數 (|c_n|) 表示測量到第 (n) 個本征态的概率。
正交性源于斯特姆-劉維爾理論（Sturm-Liouville Theory），適用于所有厄米算符（如動量、哈密頓量）的本征函數系。在狄拉克符號中，正交性簡記為 (langle m | n rangle = delta_{mn})，凸顯希爾伯特空間的幾何結構。
參考資料：
波函數正交性是量子力學中的核心概念，指不同量子态之間的數學獨立性，其數學定義和物理意義如下：
兩個波函數$psi_n(x)$與$psim(x)$正交的條件為： $$ int{-infty}^{+infty} psi_n^(x) psi_m(x) dx = 0 quad (n eq m) $$ 當$n=m$時積分結果為1，即滿足正交歸一化條件： $$ int psi_n^ psim dx = delta{nm} $$ 其中$delta_{nm}$是克羅内克δ符號，$n,m$為量子數。
一維無限深勢阱中的能量本征态： $$psi_n(x) = sqrt{frac{2}{L}} sinleft(frac{npi x}{L}right)$$ 不同$n$的波函數嚴格正交。
諧振子基态與激發态：基态高斯波包與所有激發态波函數正交。
該性質源于希爾伯特空間的内積結構，是量子力學區别于經典力學的核心數學特征之一。正交性不僅適用于空間波函數，也存在于自旋态等抽象量子态中。
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