英语翻译：

【化】 orthogonality of wave functions

分词翻译：

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

正交性的英语翻译：

【化】 orthogonality

专业解析

波函数正交性是量子力学中的核心概念，指不同量子态对应的波函数在数学上满足正交条件，反映物理状态的独立性。以下是结合汉英词典视角的详细解释：

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一、波函数正交性的定义

在量子力学中，若两个波函数 (psi_m(x)) 和 (psin(x)) 满足以下积分条件： $$ int{-infty}^{infty} psi_m^*(x) psin(x)dx = delta{mn} $$ 其中 (delta_{mn}) 是克罗内克δ函数（(m=n) 时为1，否则为0），则称二者正交（Orthogonal）。

• 汉英对照：
  • 波函数 (Wave Function)
  • 正交性 (Orthogonality)
  • 希尔伯特空间 (Hilbert Space)：波函数所在的内积空间，正交性在此空间中定义。

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二、物理意义

1. 状态独立性

   正交性确保不同量子态（如能量本征态）相互独立。例如，氢原子中1s和2p轨道的波函数正交，代表电子出现在这两个轨道的概率无关联。

2. 测量结果的互斥性

   若体系处于态 (psi_m)，测量其能量时不可能得到与 (psi_n) 对应的能量值（(m eq n)），体现了量子测量的排他性。

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三、典型应用场景

• 量子态展开：任意波函数可表示为正交基底的线性组合（如傅里叶级数）：

  $$ Psi(x) = sum_n c_n psi_n(x), quad c_n = int psi_n^*(x) Psi(x)dx $$

  系数 (|c_n|) 表示测量到第 (n) 个本征态的概率。

• 量子化学中的轨道：分子轨道理论（如LCAO）要求原子轨道基底满足正交性，避免能量计算重复计数。

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四、数学基础与延伸

正交性源于斯特姆-刘维尔理论（Sturm-Liouville Theory），适用于所有厄米算符（如动量、哈密顿量）的本征函数系。在狄拉克符号中，正交性简记为 (langle m | n rangle = delta_{mn})，凸显希尔伯特空间的几何结构。

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参考资料：

1. Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics (量子力学标准教材，定义与数学推导)
2. Cohen-Tannoudji, C. Quantum Mechanics (本征态正交性与测量原理)
3. Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics (态叠加原理与概率诠释)
4. Dirac, P. A. M. The Principles of Quantum Mechanics (狄拉克符号形式体系)

网络扩展解释

波函数正交性是量子力学中的核心概念，指不同量子态之间的数学独立性，其数学定义和物理意义如下：

一、数学定义

两个波函数$psi_n(x)$与$psim(x)$正交的条件为： $$ int{-infty}^{+infty} psi_n^(x) psi_m(x) dx = 0 quad (n eq m) $$ 当$n=m$时积分结果为1，即满足正交归一化条件： $$ int psi_n^ psim dx = delta{nm} $$ 其中$delta_{nm}$是克罗内克δ符号，$n,m$为量子数。

二、物理意义

1. 独立态标识：正交性表明两个量子态属于不同的本征态（如不同能量或动量），例如氢原子中1s和2p轨道波函数正交。
2. 测量排他性：若体系处于$psi_n$态，测量对应物理量时不可能得到$psi_m$态的结果（$n≠m$时）。
3. 概率守恒：正交归一化保证总概率为1，满足量子态的统计诠释。

三、典型示例

1. 一维无限深势阱中的能量本征态： $$psi_n(x) = sqrt{frac{2}{L}} sinleft(frac{npi x}{L}right)$$ 不同$n$的波函数严格正交。

2. 谐振子基态与激发态：基态高斯波包与所有激发态波函数正交。

四、应用场景

1. 量子态展开：任何波函数可表示为正交基的线性组合$Psi = sum c_n psi_n$
2. 测量理论：正交性保证不同本征态测量结果的互斥性
3. 简并态处理：通过格拉姆-施密特正交化构造简并能级的正交基

该性质源于希尔伯特空间的内积结构，是量子力学区别于经典力学的核心数学特征之一。正交性不仅适用于空间波函数，也存在于自旋态等抽象量子态中。

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