階運算英文解釋翻譯、階運算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 exponent arithmetic

分詞翻譯：

階的英語翻譯：

rank; stairs; steps
【計】 characteristic
【醫】 scala

運算的英語翻譯：

operation
【計】 O; OP; operation

專業解析

階運算（Factorial Operation）是數學中的基本運算類型，指對自然數n進行連續遞減乘法的計算方式，記作n!。其定義為： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 1 $$ 特殊情況下，0!被定義為1。該運算在組合數學、概率論和計算機算法中廣泛應用，例如計算排列組合數時，n個元素的排列總數為n!。

從漢英詞典視角，階運算對應的英文術語為"factorial"，詞源可追溯至19世紀數學家Christian Kramp對連續乘積的命名。現代數學文獻中，該運算的遞歸定義形式為： $$ n! = begin{cases} 1 & text{當 } n=0 n times (n-1)! & text{當 } n>0 end{cases} $$ 這種表達方式在離散數學教材中普遍使用。廣義階運算還涉及Gamma函數，将階乘概念擴展至複數域，滿足關系Γ(n) = (n-1)!。

網絡擴展解釋

“階運算”在數學中有多種含義，具體解釋需結合不同領域的定義：

1.階乘運算（Factorial）

最常見的“階運算”指階乘，符號為$n!$，表示從1到n所有正整數的乘積： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 $$

示例：$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$。
應用：排列組合、概率論、泰勒展開等。

2.數論中的“階”（Order）

在模運算中，階指一個數$a$在模$m$下的最小正整數指數$k$，使得： $$ a^k equiv 1 pmod{m} $$

條件：$a$與$m$必須互質（即$gcd(a, m) = 1$）。
示例：當$m=7$，$a=3$時，$3=3 otequiv 1 pmod{7}$，$3=729 equiv 1 pmod{7}$，因此3模7的階是6。

3.群論中的“階”（Order）

在群論中，“階”有兩種含義：

群的階：群中元素的總數。
元素的階：元素$a$生成循環子群的最小正整數$k$，使得$a^k = e$（$e$為單位元）。

4.其他相關概念

斯特林公式：估算階乘的近似值：$n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n$。
排列組合：階乘用于計算排列數$P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!}$。

常見誤解

階乘與數論中的“階”：兩者名稱相似但含義不同，需注意區分。

如果需要更具體的應用場景或公式推導，可進一步說明方向。