廣義拉蓋爾函數英文解釋翻譯、廣義拉蓋爾函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized Laguerre function

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

拉蓋爾函數的英語翻譯：

【計】 laguerre function

專業解析

廣義拉蓋爾函數（Generalized Laguerre Polynomials）是數學與物理學中一類重要的正交多項式，常用于解決含徑向對稱性的微分方程問題。其定義為參數化的多項式序列，可表示為： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha} e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} left( e^{-x} x^{n+alpha} right) $$ 其中，$alpha$ 為實數參數，$n$ 為非負整數，對應多項式的次數。

核心特性與意義

正交性
在區間 $[0, infty)$ 上，廣義拉蓋爾函數滿足帶權正交性： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 這一性質使其在量子力學和電磁場模式展開中具有關鍵作用。
微分方程關聯性
廣義拉蓋爾函數是拉蓋爾微分方程的解： $$ x y'' + (alpha +1 -x) y' + n y = 0 $$ 該方程在氫原子徑向波函數模型中直接出現。
應用領域
- 量子力學：氫原子薛定谔方程的徑向部分解由廣義拉蓋爾函數構成，例如 $2p$ 軌道波函數包含 $L_1^{(1)}(r)$。
- 電磁學：用于分析圓柱對稱系統中的電磁波模式。
- 概率論：在伽馬分布和泊松過程的相關分析中作為基函數。

漢英術語對照

中文術語	英文術語
廣義拉蓋爾函數	Generalized Laguerre Polynomials
正交性	Orthogonality
權函數	Weight Function
遞推關系	Recurrence Relation

權威參考來源

《數學物理方法》（Arfken & Weber 第7版）第18章對廣義拉蓋爾函數的性質進行了系統推導Springer。
美國國家标準技術研究院（NIST）數學庫中關于正交多項式的定義與公式NIST DLMF。
量子力學教材《Principles of Quantum Mechanics》第12章詳細讨論了其在氫原子模型中的應用Cambridge University Press。

網絡擴展解釋

廣義拉蓋爾函數（Generalized Laguerre Function）是數學中一類重要的特殊函數，屬于正交多項式範疇，其定義和應用如下：

一、基本定義

廣義拉蓋爾函數是拉蓋爾多項式的擴展形式，通常表示為 ( L_n^{(alpha)}(x) )，其中：

( n ) 為非負整數（多項式階數）
( alpha ) 為實數參數（決定函數的廣義性質）
( x ) 為自變量（定義域一般為非負實數）

其标準表達式可通過遞推關系或微分方程定義。例如，在Matlab中計算時，可能采用遞推公式實現高效運算（如提到的 ( text{mlaguerre}(n,p,x) ) 函數）。

二、數學性質

正交性
在區間 ( [0, +infty) ) 上，關于權函數 ( x^alpha e^{-x} ) 正交，即滿足： $$ int_0^infty L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) x^alpha e^{-x} dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 ( Gamma ) 為伽馬函數，( delta_{mn} ) 為克羅内克函數。
微分方程
滿足廣義拉蓋爾方程： $$ x frac{d y}{dx} + (alpha +1 -x) frac{dy}{dx} + n y = 0 $$

三、主要應用領域

量子力學
用于描述氫原子波函數的徑向部分（如提到的氫原子模型）。
統計學
在Gamma分布密度函數的正交展開中發揮作用。
光學與工程
例如仿真激光模式（如提到的LG光束分析）。

四、與普通拉蓋爾函數的區别

普通拉蓋爾函數是廣義拉蓋爾函數在 ( alpha=0 ) 時的特例，即 ( L_n^{(0)}(x) )。廣義形式通過引入參數 ( alpha ) 擴展了應用範圍，例如在非整數階問題中的建模。

如需進一步了解具體計算實現，可參考Matlab的廣義拉蓋爾多項式生成代碼（如提供的資源）。