阶运算英文解释翻译、阶运算的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 exponent arithmetic

分词翻译：

阶的英语翻译：

rank; stairs; steps
【计】 characteristic
【医】 scala

运算的英语翻译：

operation
【计】 O; OP; operation

专业解析

阶运算（Factorial Operation）是数学中的基本运算类型，指对自然数n进行连续递减乘法的计算方式，记作n!。其定义为： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 1 $$ 特殊情况下，0!被定义为1。该运算在组合数学、概率论和计算机算法中广泛应用，例如计算排列组合数时，n个元素的排列总数为n!。

从汉英词典视角，阶运算对应的英文术语为"factorial"，词源可追溯至19世纪数学家Christian Kramp对连续乘积的命名。现代数学文献中，该运算的递归定义形式为： $$ n! = begin{cases} 1 & text{当 } n=0 n times (n-1)! & text{当 } n>0 end{cases} $$ 这种表达方式在离散数学教材中普遍使用。广义阶运算还涉及Gamma函数，将阶乘概念扩展至复数域，满足关系Γ(n) = (n-1)!。

网络扩展解释

“阶运算”在数学中有多种含义，具体解释需结合不同领域的定义：

1.阶乘运算（Factorial）

最常见的“阶运算”指阶乘，符号为$n!$，表示从1到n所有正整数的乘积： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 2 times 1 $$

示例：$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$。
应用：排列组合、概率论、泰勒展开等。

2.数论中的“阶”（Order）

在模运算中，阶指一个数$a$在模$m$下的最小正整数指数$k$，使得： $$ a^k equiv 1 pmod{m} $$

条件：$a$与$m$必须互质（即$gcd(a, m) = 1$）。
示例：当$m=7$，$a=3$时，$3=3 otequiv 1 pmod{7}$，$3=729 equiv 1 pmod{7}$，因此3模7的阶是6。

3.群论中的“阶”（Order）

在群论中，“阶”有两种含义：

群的阶：群中元素的总数。
元素的阶：元素$a$生成循环子群的最小正整数$k$，使得$a^k = e$（$e$为单位元）。

4.其他相关概念

斯特林公式：估算阶乘的近似值：$n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n$。
排列组合：阶乘用于计算排列数$P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!}$。

常见误解

阶乘与数论中的“阶”：两者名称相似但含义不同，需注意区分。

如果需要更具体的应用场景或公式推导，可进一步说明方向。