基底向量英文解釋翻譯、基底向量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 basis vector

分詞翻譯：

基底的英語翻譯：

fundus
【計】 floor; substratum
【化】 basis
【醫】 bases; basi-; basio-; basis; fimdi; fundament; fundus

向量的英語翻譯：

vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity

專業解析

基底向量（Basis Vectors）是線性代數中的核心概念，指構成向量空間最小線性無關組的向量集合。在漢英詞典中，其對應英文為 "basis vectors"，定義為：

基底向量：一個向量空間中的一組線性無關向量，通過線性組合可生成該空間内所有向量。

核心特性與數學定義

線性無關性：基底向量組中任意向量均無法由其他向量線性表示。若向量組滿足：
$$

c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} implies c_1=c_2=cdots=c_n=0

$$

則該組線性無關（來源：線性代數教材。
生成空間能力：空間内所有向量 (mathbf{u}) 均可表示為基底向量的線性組合：
$$

mathbf{u} = a_1mathbf{v}_1 + a_2mathbf{v}_2 + cdots + a_nmathbf{v}_n

$$

其中系數 (a_i) 為标量（來源：IEEE标準術語庫。
基底不唯一性：同一向量空間可有不同基底，但基底向量的數量（即空間維數）固定。例如，(mathbb{R}) 的标準基底為 (begin{bmatrix}10end{bmatrix}, begin{bmatrix}01end{bmatrix})，但 (begin{bmatrix}11end{bmatrix}, begin{bmatrix}1-1end{bmatrix}) 亦可作為基底（來源：維基百科數學詞條。

應用場景

基底向量是坐标系構建的基礎：

幾何空間：三維空間中常用 (mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}) 表示坐标軸方向。
機器學習：特征空間的基底用于數據降維（如PCA算法）。
圖形學：模型變換依賴基底向量定義局部坐标系（來源：計算機圖形學手冊。

權威參考

《Linear Algebra Done Right》（Sheldon Axler）第2章 "Finite-Dimensional Vector Spaces"。
IEEE Standard Glossary of Linear Algebra Terminology (IEEE Std 770-2019)。
Wikipedia: "Basis (linear algebra)"（維基百科："基底 (線性代數)"）。
《Pattern Recognition and Machine Learning》（Christopher Bishop）第12章 "Continuous Latent Variables"。
《Computer Graphics: Principles and Practice》（Hughes et al.）第6章 "Transformation Matrices"。

網絡擴展解釋

基底向量是線性代數中的核心概念，指構成向量空間“基底”的向量組，具有以下關鍵特性：

定義與核心性質
基底向量需滿足兩個條件：
- 線性無關性：任意一個基底向量不能由其他基底向量線性表出。
- 生成性：空間中所有向量均可通過基底向量的線性組合表示。
  例如，二維空間的标準基底是 $mathbf{e}_1 = begin{pmatrix}10end{pmatrix}$ 和 $mathbf{e}_2 = begin{pmatrix}01end{pmatrix}$，它們線性無關且能表示所有二維向量。
基底與維度的關系
基底中向量的個數稱為向量空間的維度。例如，三維空間的基底必含3個向量，且所有基底包含的向量數量相同。
非唯一性與應用意義
基底不唯一，不同基底可簡化不同場景的問題。例如：
- 物理中常用正交基底（如笛卡爾坐标系）簡化計算；
- 計算機圖形學可能選擇非正交基底實現特定變換；
- 量子力學中通過基底變換描述粒子狀态。
坐标的數學表達
在基底 ${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$ 下，向量 $mathbf{a}$ 可表示為 $mathbf{a} = c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n$，其中 $(c_1, c_2, ..., c_n)$ 稱為該基底下的坐标。

示例說明
若選擇 $mathbf{v}_1 = begin{pmatrix}21end{pmatrix}$ 和 $mathbf{v}_2 = begin{pmatrix}13end{pmatrix}$ 作為二維空間的基底，則向量 $mathbf{a} = begin{pmatrix}57end{pmatrix}$ 可表示為 $2mathbf{v}_1 + 1mathbf{v}_2$，對應坐标為 $(2,1)$。