基底向量英文解释翻译、基底向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 basis vector

分词翻译：

基底的英语翻译：

fundus
【计】 floor; substratum
【化】 basis
【医】 bases; basi-; basio-; basis; fimdi; fundament; fundus

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

基底向量（Basis Vectors）是线性代数中的核心概念，指构成向量空间最小线性无关组的向量集合。在汉英词典中，其对应英文为 "basis vectors"，定义为：

基底向量：一个向量空间中的一组线性无关向量，通过线性组合可生成该空间内所有向量。

核心特性与数学定义

线性无关性：基底向量组中任意向量均无法由其他向量线性表示。若向量组满足：
$$

c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} implies c_1=c_2=cdots=c_n=0

$$

则该组线性无关（来源：线性代数教材。
生成空间能力：空间内所有向量 (mathbf{u}) 均可表示为基底向量的线性组合：
$$

mathbf{u} = a_1mathbf{v}_1 + a_2mathbf{v}_2 + cdots + a_nmathbf{v}_n

$$

其中系数 (a_i) 为标量（来源：IEEE标准术语库。
基底不唯一性：同一向量空间可有不同基底，但基底向量的数量（即空间维数）固定。例如，(mathbb{R}) 的标准基底为 (begin{bmatrix}10end{bmatrix}, begin{bmatrix}01end{bmatrix})，但 (begin{bmatrix}11end{bmatrix}, begin{bmatrix}1-1end{bmatrix}) 亦可作为基底（来源：维基百科数学词条。

应用场景

基底向量是坐标系构建的基础：

几何空间：三维空间中常用 (mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}) 表示坐标轴方向。
机器学习：特征空间的基底用于数据降维（如PCA算法）。
图形学：模型变换依赖基底向量定义局部坐标系（来源：计算机图形学手册。

权威参考

《Linear Algebra Done Right》（Sheldon Axler）第2章 "Finite-Dimensional Vector Spaces"。
IEEE Standard Glossary of Linear Algebra Terminology (IEEE Std 770-2019)。
Wikipedia: "Basis (linear algebra)"（维基百科："基底 (线性代数)"）。
《Pattern Recognition and Machine Learning》（Christopher Bishop）第12章 "Continuous Latent Variables"。
《Computer Graphics: Principles and Practice》（Hughes et al.）第6章 "Transformation Matrices"。

网络扩展解释

基底向量是线性代数中的核心概念，指构成向量空间“基底”的向量组，具有以下关键特性：

定义与核心性质
基底向量需满足两个条件：
- 线性无关性：任意一个基底向量不能由其他基底向量线性表出。
- 生成性：空间中所有向量均可通过基底向量的线性组合表示。
  例如，二维空间的标准基底是 $mathbf{e}_1 = begin{pmatrix}10end{pmatrix}$ 和 $mathbf{e}_2 = begin{pmatrix}01end{pmatrix}$，它们线性无关且能表示所有二维向量。
基底与维度的关系
基底中向量的个数称为向量空间的维度。例如，三维空间的基底必含3个向量，且所有基底包含的向量数量相同。
非唯一性与应用意义
基底不唯一，不同基底可简化不同场景的问题。例如：
- 物理中常用正交基底（如笛卡尔坐标系）简化计算；
- 计算机图形学可能选择非正交基底实现特定变换；
- 量子力学中通过基底变换描述粒子状态。
坐标的数学表达
在基底 ${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$ 下，向量 $mathbf{a}$ 可表示为 $mathbf{a} = c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n$，其中 $(c_1, c_2, ..., c_n)$ 称为该基底下的坐标。

示例说明
若选择 $mathbf{v}_1 = begin{pmatrix}21end{pmatrix}$ 和 $mathbf{v}_2 = begin{pmatrix}13end{pmatrix}$ 作为二维空间的基底，则向量 $mathbf{a} = begin{pmatrix}57end{pmatrix}$ 可表示为 $2mathbf{v}_1 + 1mathbf{v}_2$，对应坐标为 $(2,1)$。