廣義逆英文解釋翻譯、廣義逆的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized inverse

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

逆的英語翻譯：

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【醫】 contra-

專業解析

在數學和工程學領域，廣義逆（Generalized Inverse）是矩陣理論中針對非方陣或奇異矩陣的一種擴展逆運算概念。其核心定義為：若矩陣( A )滿足( A G A = A )，則矩陣( G )稱為( A )的廣義逆，記為( A^+ )（Moore-Penrose逆為最常用的一類。廣義逆突破了傳統逆矩陣僅適用于可逆方陣的限制，為解決線性方程組、最小二乘問題等提供了普適性工具。

主要特性與應用場景

數學定義與分類
廣義逆包含多種類型，其中Moore-Penrose逆通過以下條件唯一确定：

$$ AA^+A = A,quad A^+AA^+ = A^+,quad (AA^+)^ = AA^+,quad (A^+A)^ = A^+A $$

該定義由E. H. Moore和Roger Penrose提出，成為控制論與信號處理的基礎。
工程實踐意義
在電子工程中，廣義逆用于解決超定線性方程組的最小二乘解問題，例如通信系統的信道均衡和雷達信號波束成形算法。其計算可通過奇異值分解（SVD）實現：

$$ A^+ = VSigma^+U^* $$

其中( U )和( V )為酉矩陣，( Sigma^+ )為奇異值倒數構成的對角矩陣。
跨學科引用依據
- 劍橋大學數值分析教材《Matrix Computations》詳細論證了廣義逆在病态系統穩定性分析中的作用
- IEEE Transactions on Automatic Control的多篇論文記載了其在魯棒控制器設計中的具體應用案例。

網絡擴展解釋

廣義逆（Generalized Inverse）是矩陣理論中的一個重要概念，主要用于解決非方陣或不可逆矩陣的求逆問題。以下是詳細解釋：

1.定義與基本條件

廣義逆的核心定義基于以下方程（以矩陣$A$和其廣義逆$X$為例）：

$(1)AXA = A$
$(2)XAX = X$
$(3)(A^H)^+ = (A^+)^H$（共轭轉置性質）
若矩陣$X$滿足上述部分或全部條件，則稱為$A$的廣義逆。不同條件組合對應不同類型的廣義逆。

2.常見類型

Moore-Penrose逆：滿足全部4個條件（包括上述3條及對稱性），是最常用的廣義逆，記為$A^+$。它唯一存在且適用于任意矩陣。
{1}-逆（減號逆）：僅滿足條件$(1)$，記為$A^-$，存在但不唯一。
自反廣義逆：同時滿足條件$(1)$和$(2)$，具有自反性質。

3.關鍵性質

唯一性：僅Moore-Penrose逆唯一，其他類型可能有多個解。
應用場景：用于求解線性方程組$Ax=b$（尤其是無解或無窮解的情況）、最小二乘問題、統計學中的回歸分析等。

4.與普通逆矩陣的區别

普通逆矩陣$A^{-1}$要求$A$為可逆方陣，而廣義逆無需滿足這些條件，適用範圍更廣。當$A$可逆時，廣義退化為普通逆矩陣。

廣義逆擴展了矩陣逆的概念，為不可逆矩陣提供了數學工具，廣泛應用于工程、統計學和數值計算等領域。如需進一步了解具體計算或應用案例，可參考線性代數教材或專業文獻。