英語翻譯：

【計】 lattice isomorphism

分詞翻譯：

格的英語翻譯：

case; division; metre; square; standard; style
【計】 lattice

同的英語翻譯：

alike; be the same as; in common; same; together
【醫】 con-; homo-

構的英語翻譯：

compose; construct; fabricate; form; make up
【機】 groove

專業解析

格同構（lattice isomorphism）是序理論中的核心概念，指兩個格結構之間存在保持序關系和代數運算的雙射映射。在數學上，若兩個格( (L, vee, wedge) )和( (M, cup, cap) )滿足以下條件，則稱它們格同構：

1. 存在雙射函數( phi: L to M )；
2. 對任意( a, b in L )，有( phi(a vee b) = phi(a) cup phi(b) )且( phi(a wedge b) = phi(a) cap phi(b) )。

該定義确保了兩個格在代數結構和偏序關系上的完全一緻性。例如，在布爾代數中，格同構可用于證明不同邏輯系統的等價性；在計算機科學中，它被應用于類型系統分析和程式語義建模。

根據經典數學著作《Introduction to Lattices and Order》（Davey & Priestley, 2002）的定義，格同構不僅是雙射的保序映射，還需滿足對偶運算的保持性。這一性質使其成為研究抽象代數結構等價性的重要工具。

參考資料：

• 《Lattice Theory: Foundation》Birkhoff, G. (1967), 第三章
• Encyclopedia of Mathematics: Lattice Isomorphism（數學百科全書權威條目）

網絡擴展解釋

格同構是格論（Lattice Theory）中的核心概念，用于描述兩個格在結構上的完全等價性。以下是其詳細解釋：

1.定義

格同構指兩個格之間存在一個雙射映射，該映射能同時保持格的兩種運算（并運算∨和交運算∧）。具體來說：

• 設格 $L_1 = (L_1, vee_1, wedge_1)$ 和格 $L_2 = (L_2, vee_2, wedge_2)$；
• 若存在雙射 $alpha: L_1 to L_2$，滿足對任意 $a, b in L_1$： $$ alpha(a vee_1 b) = alpha(a) vee_2 alpha(b) alpha(a wedge_1 b) = alpha(a) wedge_2 alpha(b) $$ 則稱 $L_1$ 與 $L_2$同構。

2.核心條件

• 運算保持性：映射需同時保留∨和∧運算的結構，類似“翻譯”不同符號的同一操作。
• 雙射性：既是單射（一一對應）又是滿射（覆蓋目标格所有元素），确保元素間無遺漏或重複。

3.性質

• 保序性：同構映射是保序的，即若 $a leq_1 b$，則 $alpha(a) leq_2 alpha(b)$，且其逆映射也保序。
• 結構等價：同構的格在抽象意義上完全相同，僅元素符號或名稱不同，例如“1”與“壹”的關系。

4.與同态的區别

• 同态：僅要求運算保持性，不要求雙射（如單同态、滿同态）。
• 同構：是雙射的同态，為同态中最嚴格的一類。

5.意義

格同構揭示了不同格之間的深層結構一緻性，類似于群論中的群同構或圖論中的圖同構。它允許研究者通過簡化符號或形式，聚焦于本質的代數或序結構特性。

分類

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