广义逆英文解释翻译、广义逆的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generalized inverse

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

逆的英语翻译：

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【医】 contra-

专业解析

在数学和工程学领域，广义逆（Generalized Inverse）是矩阵理论中针对非方阵或奇异矩阵的一种扩展逆运算概念。其核心定义为：若矩阵( A )满足( A G A = A )，则矩阵( G )称为( A )的广义逆，记为( A^+ )（Moore-Penrose逆为最常用的一类。广义逆突破了传统逆矩阵仅适用于可逆方阵的限制，为解决线性方程组、最小二乘问题等提供了普适性工具。

主要特性与应用场景

数学定义与分类
广义逆包含多种类型，其中Moore-Penrose逆通过以下条件唯一确定：

$$ AA^+A = A,quad A^+AA^+ = A^+,quad (AA^+)^ = AA^+,quad (A^+A)^ = A^+A $$

该定义由E. H. Moore和Roger Penrose提出，成为控制论与信号处理的基础。
工程实践意义
在电子工程中，广义逆用于解决超定线性方程组的最小二乘解问题，例如通信系统的信道均衡和雷达信号波束成形算法。其计算可通过奇异值分解（SVD）实现：

$$ A^+ = VSigma^+U^* $$

其中( U )和( V )为酉矩阵，( Sigma^+ )为奇异值倒数构成的对角矩阵。
跨学科引用依据
- 剑桥大学数值分析教材《Matrix Computations》详细论证了广义逆在病态系统稳定性分析中的作用
- IEEE Transactions on Automatic Control的多篇论文记载了其在鲁棒控制器设计中的具体应用案例。

网络扩展解释

广义逆（Generalized Inverse）是矩阵理论中的一个重要概念，主要用于解决非方阵或不可逆矩阵的求逆问题。以下是详细解释：

1.定义与基本条件

广义逆的核心定义基于以下方程（以矩阵$A$和其广义逆$X$为例）：

$(1)AXA = A$
$(2)XAX = X$
$(3)(A^H)^+ = (A^+)^H$（共轭转置性质）
若矩阵$X$满足上述部分或全部条件，则称为$A$的广义逆。不同条件组合对应不同类型的广义逆。

2.常见类型

Moore-Penrose逆：满足全部4个条件（包括上述3条及对称性），是最常用的广义逆，记为$A^+$。它唯一存在且适用于任意矩阵。
{1}-逆（减号逆）：仅满足条件$(1)$，记为$A^-$，存在但不唯一。
自反广义逆：同时满足条件$(1)$和$(2)$，具有自反性质。

3.关键性质

唯一性：仅Moore-Penrose逆唯一，其他类型可能有多个解。
应用场景：用于求解线性方程组$Ax=b$（尤其是无解或无穷解的情况）、最小二乘问题、统计学中的回归分析等。

4.与普通逆矩阵的区别

普通逆矩阵$A^{-1}$要求$A$为可逆方阵，而广义逆无需满足这些条件，适用范围更广。当$A$可逆时，广义退化为普通逆矩阵。

广义逆扩展了矩阵逆的概念，为不可逆矩阵提供了数学工具，广泛应用于工程、统计学和数值计算等领域。如需进一步了解具体计算或应用案例，可参考线性代数教材或专业文献。