可數無窮集英文解釋翻譯、可數無窮集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 countably-infinite set

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

無窮集的英語翻譯：

【計】 infinite set

專業解析

在數學集合論中，可數無窮集（kě shù wú qióng jí / Countably Infinite Set）是一個核心概念，指能與自然數集建立一一對應關系的無限集合。以下是其詳細解釋：

一、漢語定義與核心特征

可數 (Countable)：此處的“可數”并非指能實際數完（因其無限），而是指集合中的元素可以像自然數 1, 2, 3, ... 一樣被“按順序排列”或“編號”。這意味着存在一個系統的方法，可以無遺漏地列出集合中的所有元素（盡管永遠列不完）。
無窮集 (Infinite Set)：指包含無限多個元素的集合。
可數無窮集：結合兩者，指那些元素數量無限，但其元素可以與自然數集N = {1, 2, 3, ...} 建立雙射（一一對應）的集合。這是“最小”的無窮集合類型。

二、英語對應術語解析

Countably Infinite Set：這是最标準的英文術語。
- Countably：強調其元素可按自然數順序“計數”或枚舉的特性。
- Infinite：表明其元素數量是無限的。
- Set：集合。
Denumerable Set：與 Countably Infinite Set 完全同義，可互換使用。
Cardinality ℵ₀：可數無窮集的基數（集合大小的度量）是阿列夫零（Aleph-null / Aleph-zero），記作 ℵ₀。這是最小的無窮基數。數學表達為： |S| = ℵ₀。

三、數學本質與例子

一一對應是關鍵：存在一個雙射函數 f： N → S。這意味着：
- 每個自然數 n 對應 S 中唯一一個元素 f(n)。
- S 中的每個元素 s，都有唯一一個自然數 n 使得 f(n) = s。
常見例子：
- 自然數集 N： {1, 2, 3, ...}
- 整數集 Z： {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。可通過構造如 f(n) = n/2 (n偶), -(n-1)/2 (n奇) 的雙射證明其可數無窮。
- 有理數集 Q：所有分數 p/q (p, q 為整數， q ≠ 0)。雖然稠密，但可通過“對角線法”等将其元素排列成序列，證明其可數無窮。
- 代數數集：所有整系數多項式根的集合。也是可數無窮集。
非可數無窮的例子：
- 實數集 R：包含所有有理數和無理數（如 π, e, √2）。康托爾對角線論證證明其基數大于 ℵ₀，稱為不可數無窮集，基數為 ℵ (阿列夫) 或c (連續統的基數)。
- 區間 (0,1)：任何實數區間内的點集都與 R 等勢，故不可數。

四、重要性質

可數無窮集的任何無限子集仍然是可數無窮的。
有限個可數無窮集的并集仍是可數無窮集。
可數個可數無窮集的并集仍是可數無窮集。
可數無窮集與自身的笛卡爾積（如 N × N）仍是可數無窮集。
任何基數小于或等于 ℵ₀ 的集合，要麼是有限集，要麼是可數無窮集。

五、理解“可數”的涵義在數學語境下，“可數集”通常包含兩層含義：

有限集：元素個數是某個自然數。
可數無窮集：元素無限但可與自然數一一對應。因此，術語“可數集”是有限集和可數無窮集的統稱。當特别強調無限性時，使用“可數無窮集”。

六、希爾伯特旅館悖論此思想實驗生動闡釋了可數無窮的性質：一個擁有可數無窮多個房間（編號1, 2, 3, ...）的旅館，即使已住滿，仍能通過讓現有客人按規則（如n號房搬到n+1號房）移動，為新來的可數無窮多位客人（甚至有限批次的此類客人）騰出房間。這體現了 ℵ₀ + n = ℵ₀ 和 ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ 的性質。

參考資料來源：

Wolfram MathWorld - Countably Infinite: https://mathworld.wolfram.com/CountablyInfinite.html (權威數學百科全書)
Encyclopedia of Mathematics - Countable Set: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Countable_set (專業數學百科)
Brilliant Math & Science Wiki - Cardinality: https://brilliant.org/wiki/cardinality/ (包含可數無窮内容的科普教學平台)

網絡擴展解釋

可數無窮集是數學集合論中的一個重要概念，具體解釋如下：

定義

可數無窮集（countably infinite set）是指能與自然數集$mathbb{N}$建立一一對應關系的無限集合。這意味着：

元素可枚舉：集合中的元素可以按順序排列為$a_1, a_2, a_3, ldots$，且每個元素都有唯一對應的自然數下标。
雙射存在：存在雙射函數$f: mathbb{N} to S$，使得每個自然數$n$對應唯一的集合元素$a_n$，反之亦然。

例子

自然數集$mathbb{N}$：顯然滿足${1,2,3,ldots}$的排列。
整數集$mathbb{Z}$：可通過交替排列正負整數（如$0,1,-1,2,-2,ldots$）建立對應。
有理數集$mathbb{Q}$：通過“對角線枚舉法”将分數按分子分母和排列，去除重複後形成可數序列。

不可數集的對比

實數集$mathbb{R}$：無法與自然數一一對應，康托爾對角線法證明其基數更大。
複數集$mathbb{C}$：與實數集等勢，同樣不可數。

數學意義

基數：可數無窮集的基數記為$aleph_0$（阿列夫零），是最小的無限基數。
性質：可數集的子集、有限個可數集的并集、可數個可數集的并集仍為可數集。

應用場景

離散數學：可數集常用于描述離散結構的無限性（如計算機科學中的狀态空間）。
概率論：離散概率空間可能基于可數集（如泊松分布）。

簡而言之，可數無窮集是“可逐個列出”的無限集合，其大小與自然數相當，但小于實數等不可數集。