可数无穷集英文解释翻译、可数无穷集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 countably-infinite set

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

无穷集的英语翻译：

【计】 infinite set

专业解析

在数学集合论中，可数无穷集（kě shù wú qióng jí / Countably Infinite Set）是一个核心概念，指能与自然数集建立一一对应关系的无限集合。以下是其详细解释：

一、汉语定义与核心特征

可数 (Countable)：此处的“可数”并非指能实际数完（因其无限），而是指集合中的元素可以像自然数 1, 2, 3, ... 一样被“按顺序排列”或“编号”。这意味着存在一个系统的方法，可以无遗漏地列出集合中的所有元素（尽管永远列不完）。
无穷集 (Infinite Set)：指包含无限多个元素的集合。
可数无穷集：结合两者，指那些元素数量无限，但其元素可以与自然数集N = {1, 2, 3, ...} 建立双射（一一对应）的集合。这是“最小”的无穷集合类型。

二、英语对应术语解析

Countably Infinite Set：这是最标准的英文术语。
- Countably：强调其元素可按自然数顺序“计数”或枚举的特性。
- Infinite：表明其元素数量是无限的。
- Set：集合。
Denumerable Set：与 Countably Infinite Set 完全同义，可互换使用。
Cardinality ℵ₀：可数无穷集的基数（集合大小的度量）是阿列夫零（Aleph-null / Aleph-zero），记作 ℵ₀。这是最小的无穷基数。数学表达为： |S| = ℵ₀。

三、数学本质与例子

一一对应是关键：存在一个双射函数 f： N → S。这意味着：
- 每个自然数 n 对应 S 中唯一一个元素 f(n)。
- S 中的每个元素 s，都有唯一一个自然数 n 使得 f(n) = s。
常见例子：
- 自然数集 N： {1, 2, 3, ...}
- 整数集 Z： {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。可通过构造如 f(n) = n/2 (n偶), -(n-1)/2 (n奇) 的双射证明其可数无穷。
- 有理数集 Q：所有分数 p/q (p, q 为整数， q ≠ 0)。虽然稠密，但可通过“对角线法”等将其元素排列成序列，证明其可数无穷。
- 代数数集：所有整系数多项式根的集合。也是可数无穷集。
非可数无穷的例子：
- 实数集 R：包含所有有理数和无理数（如 π, e, √2）。康托尔对角线论证证明其基数大于 ℵ₀，称为不可数无穷集，基数为 ℵ (阿列夫) 或c (连续统的基数)。
- 区间 (0,1)：任何实数区间内的点集都与 R 等势，故不可数。

四、重要性质

可数无穷集的任何无限子集仍然是可数无穷的。
有限个可数无穷集的并集仍是可数无穷集。
可数个可数无穷集的并集仍是可数无穷集。
可数无穷集与自身的笛卡尔积（如 N × N）仍是可数无穷集。
任何基数小于或等于 ℵ₀ 的集合，要么是有限集，要么是可数无穷集。

五、理解“可数”的涵义在数学语境下，“可数集”通常包含两层含义：

有限集：元素个数是某个自然数。
可数无穷集：元素无限但可与自然数一一对应。因此，术语“可数集”是有限集和可数无穷集的统称。当特别强调无限性时，使用“可数无穷集”。

六、希尔伯特旅馆悖论此思想实验生动阐释了可数无穷的性质：一个拥有可数无穷多个房间（编号1, 2, 3, ...）的旅馆，即使已住满，仍能通过让现有客人按规则（如n号房搬到n+1号房）移动，为新来的可数无穷多位客人（甚至有限批次的此类客人）腾出房间。这体现了 ℵ₀ + n = ℵ₀ 和 ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ 的性质。

参考资料来源：

Wolfram MathWorld - Countably Infinite: https://mathworld.wolfram.com/CountablyInfinite.html (权威数学百科全书)
Encyclopedia of Mathematics - Countable Set: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Countable_set (专业数学百科)
Brilliant Math & Science Wiki - Cardinality: https://brilliant.org/wiki/cardinality/ (包含可数无穷内容的科普教学平台)

网络扩展解释

可数无穷集是数学集合论中的一个重要概念，具体解释如下：

定义

可数无穷集（countably infinite set）是指能与自然数集$mathbb{N}$建立一一对应关系的无限集合。这意味着：

元素可枚举：集合中的元素可以按顺序排列为$a_1, a_2, a_3, ldots$，且每个元素都有唯一对应的自然数下标。
双射存在：存在双射函数$f: mathbb{N} to S$，使得每个自然数$n$对应唯一的集合元素$a_n$，反之亦然。

例子

自然数集$mathbb{N}$：显然满足${1,2,3,ldots}$的排列。
整数集$mathbb{Z}$：可通过交替排列正负整数（如$0,1,-1,2,-2,ldots$）建立对应。
有理数集$mathbb{Q}$：通过“对角线枚举法”将分数按分子分母和排列，去除重复后形成可数序列。

不可数集的对比

实数集$mathbb{R}$：无法与自然数一一对应，康托尔对角线法证明其基数更大。
复数集$mathbb{C}$：与实数集等势，同样不可数。

数学意义

基数：可数无穷集的基数记为$aleph_0$（阿列夫零），是最小的无限基数。
性质：可数集的子集、有限个可数集的并集、可数个可数集的并集仍为可数集。

应用场景

离散数学：可数集常用于描述离散结构的无限性（如计算机科学中的状态空间）。
概率论：离散概率空间可能基于可数集（如泊松分布）。

简而言之，可数无穷集是“可逐个列出”的无限集合，其大小与自然数相当，但小于实数等不可数集。