标量積英文解釋翻譯、标量積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 scalar product

分詞翻譯：

标的英語翻譯：

mark; sign
【醫】 guide; mark; marker; scale

量的英語翻譯：

capacity; estimate; measure; mete; quantity; quantum
【醫】 amount; dose; dosis; measure; quanta; quantity; quantum
【經】 volume

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

專業解析

标量積（Scalar Product）的詳細解釋（漢英詞典視角）

1. 術語定義與核心概念

标量積（Scalar Product），又稱點積（Dot Product）或内積（Inner Product），是向量運算中的一種基本操作。其定義為兩個向量在相同維度下對應分量乘積之和，結果為一個标量（Scalar）（即無方向的數值）。數學表達式為：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

其中 (mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)) 和 (mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n)) 為 (n) 維向量。

2. 幾何意義與物理應用

标量積的幾何解釋為：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$$

式中 (|mathbf{a}|) 和 (|mathbf{b}|) 分别為向量的模長，(theta) 為兩向量的夾角。這一性質表明标量積可度量向量的方向相似性：

若 (theta = 0^circ)（同向），結果為正最大值；
若 (theta = 90^circ)（垂直），結果為 (0)；
若 (theta = 180^circ)（反向），結果為負最小值。
在物理學中，标量積用于計算功（力與位移的點積）和通量（電場與面積的法向分量積）等。

3. 計算示例與性質

以三維向量為例：

若 (mathbf{a} = (1, 2, 3))，(mathbf{b} = (4, -5, 6))，則标量積為：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = (1 times 4) + (2 times (-5)) + (3 times 6) = 4 - 10 + 18 = 12$$

核心性質包括：

交換律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
數乘結合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))。

4. 跨學科應用場景

工程學：計算機圖形學中用于光照模型（計算光線與表面法向夾角）；
人工智能：機器學習中衡量特征向量的相似度（如餘弦相似度）；
導航系統：通過點積判斷運動方向與目标方向的偏差。

參考資料

《數學辭海》（中國科學技術出版社）：向量運算定義與性質。
University Physics（Pearson）：标量積的物理意義與應用。
Linear Algebra and Its Applications（Gilbert Strang）：幾何解釋與計算法則。
中國科學院數學與系統科學研究院：向量代數基礎。

網絡擴展解釋

标量積（又稱點積或内積）是向量運算中的一種基本操作，其結果為标量（即單個數值）。以下是詳細解釋：

1. 定義與公式

标量積是兩個向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的乘積，定義為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}| costheta $$ 其中：

$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$是向量的模長（大小），
$theta$是兩向量之間的夾角。

在直角坐标系中，若$mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$，$mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, bn)$，則标量積可表示為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^n a_i b_i $$

2. 幾何意義

投影關系：标量積等于一個向量在另一個向量方向上的投影長度乘以第二個向量的模長。
夾角判斷：若$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，則兩向量垂直（正交）；若結果為正，夾角小于90°；若為負，夾角大于90°。

3. 主要性質

交換律：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
分配律：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}$
結合标量乘法：$(kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$（$k$為标量）

4. 應用場景

物理學：計算功（$W = mathbf{F} cdot mathbf{d}$，力與位移的标量積）。
計算機圖形學：判斷光照方向與表面法向量的夾角，計算明暗效果。
幾何分析：檢測向量是否正交或計算夾角。

示例

若$mathbf{a} = (3, 4)$，$mathbf{b} = (1, -2)$，則标量積為： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 3 times 1 + 4 times (-2) = 3 - 8 = -5 $$ 結果負值說明兩向量夾角大于90°。

标量積是線性代數和物理學中的核心工具，其簡潔的數學表達和直觀的幾何意義使其廣泛應用于科學和工程領域。