三重标積英文解釋翻譯、三重标積的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 triple scalar product

分詞翻譯：

三的英語翻譯：

three; several; many
【計】 tri
【化】 trimethano-; trimethoxy
【醫】 tri-

重的英語翻譯：

again; layer; repeat; scale; weight
【計】 repetitive group
【醫】 hyper-; weight; wt.

标的英語翻譯：

mark; sign
【醫】 guide; mark; marker; scale

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

專業解析

在矢量分析中，三重标積（Triple scalar product）是三個向量的混合運算形式，記作$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。其數學定義可表述為：先計算向量$mathbf{b}$與$mathbf{c}$的叉積，再将結果與向量$mathbf{a}$進行點積。該運算結果是一個标量值，具有以下核心特性：

幾何意義
三重标積的絕對值等于由這三個向量構成的平行六面體的體積。當三個向量構成右手系時，計算結果為正；若為左手系則為負。這一性質在工程力學和計算機圖形學中被廣泛用于空間體積計算。
代數表達式
在笛卡爾坐标系中，可用行列式表示為： $$ mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z c_x & c_y & c_z end{vmatrix} $$ 這一表達式與線性代數中的行列式性質直接相關。
輪換對稱性
滿足循環置換不變性：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{a}) = mathbf{c} cdot (mathbf{a} times mathbf{b})$。但交換任意兩個向量會改變符號，例如$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c}) = -mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{b})$。
物理應用
在電磁場理論中，該運算用于計算磁場能量密度；在連續介質力學中，則用于應變張量分析。其标量特性使其在守恒量計算中具有特殊優勢。

參考文獻：

《矢量分析與張量計算》，高等教育出版社

MIT OpenCourseWare《工程數學》課程講義

Wolfram MathWorld向量運算條目

《電磁場與電磁波》第4版，John Wiley & Sons出版

網絡擴展解釋

三重标積（又稱混合積）是向量代數中的一個重要概念，涉及三個向量的運算。以下從幾何和代數角度詳細解釋其意義：

定義與表達式
三重标積由三個向量 (vec{a})、(vec{b})、(vec{c}) 組成，表達式為 (vec{c} cdot (vec{a} times vec{b}))。它先計算向量 (vec{a}) 和 (vec{b}) 的叉積，再将結果與 (vec{c}) 進行點積，最終得到一個标量值。
幾何意義
三重标積的絕對值等于以 (vec{a})、(vec{b})、(vec{c}) 為鄰邊的平行六面體的體積。具體來說：
- 當 (vec{c}) 與 (vec{a} times vec{b}) 同向時，值為正；
- 反向時，值為負；
- 若三個向量共面（平行六面體體積為零），則三重标積為零。
符號判斷與右手法則
符號的正負由向量的方向決定，符合右手螺旋定則：将 (vec{a})、(vec{b}) 作為基底平面，若 (vec{c}) 在該平面法向量的正向側，則值為正，反之為負。
應用示例
- 判斷向量共面性：若三重标積為零，說明三個向量共面（線性相關）。
- 物理中的力矩計算：例如，力矩方向與作用點位置的三重标積相關。
數學性質
三重标積滿足輪換對稱性，即： [ vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) = vec{b} cdot (vec{c} times vec{a}) = vec{c} cdot (vec{a} times vec{b}) ] 交換任意兩個向量會改變符號，例如 (vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) = -vec{a} cdot (vec{c} times vec{b}))。

通過以上分析可知，三重标積不僅是一個代數運算工具，更直觀地反映了三維空間中向量組的幾何關系。