标量积英文解释翻译、标量积的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 scalar product

分词翻译：

标的英语翻译：

mark; sign
【医】 guide; mark; marker; scale

量的英语翻译：

capacity; estimate; measure; mete; quantity; quantum
【医】 amount; dose; dosis; measure; quanta; quantity; quantum
【经】 volume

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

专业解析

标量积（Scalar Product）的详细解释（汉英词典视角）

1. 术语定义与核心概念

标量积（Scalar Product），又称点积（Dot Product）或内积（Inner Product），是向量运算中的一种基本操作。其定义为两个向量在相同维度下对应分量乘积之和，结果为一个标量（Scalar）（即无方向的数值）。数学表达式为：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

其中 (mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)) 和 (mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n)) 为 (n) 维向量。

2. 几何意义与物理应用

标量积的几何解释为：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$$

式中 (|mathbf{a}|) 和 (|mathbf{b}|) 分别为向量的模长，(theta) 为两向量的夹角。这一性质表明标量积可度量向量的方向相似性：

若 (theta = 0^circ)（同向），结果为正最大值；
若 (theta = 90^circ)（垂直），结果为 (0)；
若 (theta = 180^circ)（反向），结果为负最小值。
在物理学中，标量积用于计算功（力与位移的点积）和通量（电场与面积的法向分量积）等。

3. 计算示例与性质

以三维向量为例：

若 (mathbf{a} = (1, 2, 3))，(mathbf{b} = (4, -5, 6))，则标量积为：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = (1 times 4) + (2 times (-5)) + (3 times 6) = 4 - 10 + 18 = 12$$

核心性质包括：

交换律：(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
数乘结合律：((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}))。

4. 跨学科应用场景

工程学：计算机图形学中用于光照模型（计算光线与表面法向夹角）；
人工智能：机器学习中衡量特征向量的相似度（如余弦相似度）；
导航系统：通过点积判断运动方向与目标方向的偏差。

参考资料

《数学辞海》（中国科学技术出版社）：向量运算定义与性质。
University Physics（Pearson）：标量积的物理意义与应用。
Linear Algebra and Its Applications（Gilbert Strang）：几何解释与计算法则。
中国科学院数学与系统科学研究院：向量代数基础。

网络扩展解释

标量积（又称点积或内积）是向量运算中的一种基本操作，其结果为标量（即单个数值）。以下是详细解释：

1. 定义与公式

标量积是两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的乘积，定义为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}| costheta $$ 其中：

$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$是向量的模长（大小），
$theta$是两向量之间的夹角。

在直角坐标系中，若$mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$，$mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, bn)$，则标量积可表示为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum{i=1}^n a_i b_i $$

2. 几何意义

投影关系：标量积等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以第二个向量的模长。
夹角判断：若$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$，则两向量垂直（正交）；若结果为正，夹角小于90°；若为负，夹角大于90°。

3. 主要性质

交换律：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$
分配律：$mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}$
结合标量乘法：$(kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$（$k$为标量）

4. 应用场景

物理学：计算功（$W = mathbf{F} cdot mathbf{d}$，力与位移的标量积）。
计算机图形学：判断光照方向与表面法向量的夹角，计算明暗效果。
几何分析：检测向量是否正交或计算夹角。

示例

若$mathbf{a} = (3, 4)$，$mathbf{b} = (1, -2)$，则标量积为： $$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 3 times 1 + 4 times (-2) = 3 - 8 = -5 $$ 结果负值说明两向量夹角大于90°。

标量积是线性代数和物理学中的核心工具，其简洁的数学表达和直观的几何意义使其广泛应用于科学和工程领域。