級數英文解釋翻譯、級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

分詞翻譯：

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

在數學分析領域，級數（series）指将數列的項依次用加號連接而成的表達式，其核心定義可表述為：若給定序列${a_n}$，則表達式$a_1 + a_2 + a_3 + cdots + an + cdots$稱為無窮級數，記作$sum{n=1}^infty a_n$（參考：《數學分析》高等教育出版社）。根據收斂性可分為收斂級數與發散級數兩大類别，其中收斂級數的部分和序列存在有限極限值。

算術級數（等差級數）與幾何級數（等比級數）是最基礎的兩種級數類型。算術級數通項為$a_n = a + (n-1)d$，其前$n$項和公式為： $$ S_n = frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$ 幾何級數通項為$a_n = ar^{n-1}$，當公比$|r| < 1$時收斂，其和為$frac{a}{1-r}$（參考：Wolfram MathWorld）。

在工程應用領域，傅裡葉級數作為三角級數的特殊形式，被廣泛用于信號處理與熱傳導分析。這類級數将周期函數展開為正弦、餘弦函數的無窮和，其表達式為： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^infty [a_ncos(nx) + b_nsin(nx)] $$ （參考：美國數學學會AMS官網）

判别級數收斂性的常用方法包括比較判别法、比值判别法與積分判别法。以調和級數$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$為例，雖然其通項趨近于零，但通過積分判别法可證該級數發散（參考：中國科學院數學研究所公開講義）。

網絡擴展解釋

級數是數學中研究無窮多個數依次相加的結構及其性質的數學工具。以下是詳細解釋：

一、基本定義

級數的一般形式為： $$ sum_{n=1}^infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots $$ 其中$a_n$稱為通項，級數的和定義為部分和序列$SN = sum{n=1}^N an$的極限。若$lim{N to infty} S_N$存在且有限，則稱級數收斂，否則發散。

二、重要類型

數項級數
- 幾何級數：$sum_{n=0}^infty r^n$，當$|r|<1$時收斂于$frac{1}{1-r}$
- 調和級數：$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ 是發散的經典例子
函數項級數
- 幂級數：$sum_{n=0}^infty c_n (x-a)^n$（用于泰勒展開）
- 傅裡葉級數：用三角函數表示周期函數

三、收斂性判定

常用判别方法：

比較判别法：與已知收斂/發散級數比較
比值判别法：計算$lim{n to infty} |a{n+1}/a_n|$
積分判别法：将級數與積分$int_{1}^infty f(x)dx$比較

四、應用領域

級數在以下場景中發揮關鍵作用：

近似計算（如用泰勒級數計算函數值）
信號分析（傅裡葉級數分解波形）
微分方程求解
概率論中的期望計算

五、注意事項

條件收斂級數（如交錯調和級數$sum (-1)^{n}/n$）需要謹慎處理求和順序
絕對收斂級數具有更好的運算性質

級數的研究貫穿數學分析、工程數學和物理建模，是連接離散與連續的重要橋梁。