级数英文解释翻译、级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

progression; series
【经】 progression

分词翻译：

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

在数学分析领域，级数（series）指将数列的项依次用加号连接而成的表达式，其核心定义可表述为：若给定序列${a_n}$，则表达式$a_1 + a_2 + a_3 + cdots + an + cdots$称为无穷级数，记作$sum{n=1}^infty a_n$（参考：《数学分析》高等教育出版社）。根据收敛性可分为收敛级数与发散级数两大类别，其中收敛级数的部分和序列存在有限极限值。

算术级数（等差级数）与几何级数（等比级数）是最基础的两种级数类型。算术级数通项为$a_n = a + (n-1)d$，其前$n$项和公式为： $$ S_n = frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$ 几何级数通项为$a_n = ar^{n-1}$，当公比$|r| < 1$时收敛，其和为$frac{a}{1-r}$（参考：Wolfram MathWorld）。

在工程应用领域，傅里叶级数作为三角级数的特殊形式，被广泛用于信号处理与热传导分析。这类级数将周期函数展开为正弦、余弦函数的无穷和，其表达式为： $$ f(x) = frac{a0}{2} + sum{n=1}^infty [a_ncos(nx) + b_nsin(nx)] $$ （参考：美国数学学会AMS官网）

判别级数收敛性的常用方法包括比较判别法、比值判别法与积分判别法。以调和级数$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$为例，虽然其通项趋近于零，但通过积分判别法可证该级数发散（参考：中国科学院数学研究所公开讲义）。

网络扩展解释

级数是数学中研究无穷多个数依次相加的结构及其性质的数学工具。以下是详细解释：

一、基本定义

级数的一般形式为： $$ sum_{n=1}^infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots $$ 其中$a_n$称为通项，级数的和定义为部分和序列$SN = sum{n=1}^N an$的极限。若$lim{N to infty} S_N$存在且有限，则称级数收敛，否则发散。

二、重要类型

数项级数
- 几何级数：$sum_{n=0}^infty r^n$，当$|r|<1$时收敛于$frac{1}{1-r}$
- 调和级数：$sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ 是发散的经典例子
函数项级数
- 幂级数：$sum_{n=0}^infty c_n (x-a)^n$（用于泰勒展开）
- 傅里叶级数：用三角函数表示周期函数

三、收敛性判定

常用判别方法：

比较判别法：与已知收敛/发散级数比较
比值判别法：计算$lim{n to infty} |a{n+1}/a_n|$
积分判别法：将级数与积分$int_{1}^infty f(x)dx$比较

四、应用领域

级数在以下场景中发挥关键作用：

近似计算（如用泰勒级数计算函数值）
信号分析（傅里叶级数分解波形）
微分方程求解
概率论中的期望计算

五、注意事项

条件收敛级数（如交错调和级数$sum (-1)^{n}/n$）需要谨慎处理求和顺序
绝对收敛级数具有更好的运算性质

级数的研究贯穿数学分析、工程数学和物理建模，是连接离散与连续的重要桥梁。