連帶拉蓋爾函數英文解釋翻譯、連帶拉蓋爾函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 associated Laguerre function

分詞翻譯：

連的英語翻譯：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【醫】 sym-; syn-

帶的英語翻譯：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【計】 tape
【化】 band
【醫】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【經】 belt

拉蓋爾函數的英語翻譯：

【計】 laguerre function

專業解析

連帶拉蓋爾函數（Associated Laguerre Functions），是數學物理方法中一類重要的特殊函數，在量子力學、電磁學等領域有廣泛應用。以下從漢英對照角度詳細解釋其含義：

一、基本定義

中文術語：連帶拉蓋爾函數

英文術語：Associated Laguerre Functions

數學定義：

連帶拉蓋爾函數是拉蓋爾多項式（Laguerre Polynomials）的推廣形式，由兩個參數 ( n )（階數）和 ( k )（連帶階數）定義。其标準微分方程為：

$$ xfrac{dy}{dx} + (k+1-x)frac{dy}{dx} + ny = 0 $$

其顯式表達式（Rodrigues公式）為：

$$ L_n^k(x) = frac{e^x x^{-k}}{n!} frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^{n+k}) $$

二、核心性質

正交性（Orthogonality）
在區間 ([0, infty)) 上，關于權函數 ( x^k e^{-x} ) 正交：

$$ int_0^infty x^k e^{-x} L_n^k(x) Lm^k(x)dx = frac{(n+k)!}{n!} delta{nm} $$

遞推關系（Recurrence Relations）
滿足遞推公式：

$$ (n+1)L_{n+1}^k(x) = (2n + k + 1 - x)Ln^k(x) - (n+k)L{n-1}^k(x) $$

三、物理應用

量子力學（Quantum Mechanics）
用于描述氫原子徑向波函數：

$$ R{nl}(r) propto e^{-r/(na)} r^l L{n-l-1}^{2l+1}left( frac{2r}{na} right) $$

其中 ( n ) 為主量子數，( l ) 為角量子數。

電磁學（Electromagnetism）
在激光物理中用于求解高斯光束的波動方程。

四、參考來源

《數學物理方法》（Methods of Mathematical Physics）
Arfken & Weber 著，第7版，第18章詳細讨論連帶拉蓋爾函數的性質與應用。

《量子力學導論》（Introduction to Quantum Mechanics）
Griffiths 著，第4章氫原子波函數推導中完整使用連帶拉蓋爾函數。

NIST數學函數數字圖書館（DLMF）
美國國家标準技術研究院線上數據庫提供嚴格定義與公式驗證（鍊接：https://dlmf.nist.gov/18.3）。

五、漢英術語對照表

中文	英文
階數	Order ( (n) )
連帶階數	Associated order ( (k) )
正交性	Orthogonality
遞推關系	Recurrence relation
徑向波函數	Radial wave function

網絡擴展解釋

連帶拉蓋爾函數（Associated Laguerre Functions）是拉蓋爾多項式的一種推廣形式，在數學和物理學中具有重要應用，尤其在量子力學中用于描述氫原子波函數。以下從定義、數學性質和應用三方面詳細解釋：

1.定義與形式

連帶拉蓋爾函數由拉蓋爾多項式引入額外參數生成。其定義為： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha} e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} left( x^{n+alpha} e^{-x} right) $$ 其中：

( n ) 為非負整數（多項式階數）；
( alpha ) 為實數參數（稱為“連帶參數”或“廣義參數”）；
( x ) 為自變量（通常定義在非負實數域上）。

當 (alpha = 0) 時，退化為标準拉蓋爾多項式 ( L_n(x) )。

2.數學性質

正交性：在區間 ( [0, infty) ) 上，連帶拉蓋爾函數關于權函數 ( x^alpha e^{-x} ) 正交： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 (Gamma) 為伽馬函數，(delta_{mn}) 為克羅内克符號。
微分方程：滿足連帶拉蓋爾方程： $$ x y'' + (alpha + 1 - x) y' + n y = 0 $$ 該方程在量子力學氫原子模型的徑向波函數求解中出現。
遞推關系：可通過遞推公式生成高階多項式，例如： $$ (n+1)L_{n+1}^{(alpha)}(x) = (2n+alpha+1 -x)Ln^{(alpha)}(x) - (n+alpha)L{n-1}^{(alpha)}(x) $$

3.主要應用

量子力學：氫原子徑向波函數可表示為： $$ R_{nl}(r) propto r^l e^{-r/(n amu)} L{n-l-1}^{(2l+1)}left( frac{2r}{n a_mu} right) $$ 其中 ( n, l ) 為主量子數和角量子數，( a_mu ) 為玻爾半徑。
數值計算：用于高斯-拉蓋爾積分法（Gauss-Laguerre quadrature），解決帶指數權函數的積分問題。
統計學與工程學：在Gamma分布密度函數、信號處理中的系統建模等領域也有應用。

連帶拉蓋爾函數通過引入參數 (alpha) 擴展了标準拉蓋爾多項式的適用範圍，其正交性和微分方程特性使其成為解決物理與工程問題的關鍵工具。如需具體公式推導或代碼實現，可參考量子力學教材或數值計算庫（如MATLAB的mlaguerre函數）。