连带拉盖尔函数英文解释翻译、连带拉盖尔函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 associated Laguerre function

分词翻译：

连的英语翻译：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【医】 sym-; syn-

带的英语翻译：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【计】 tape
【化】 band
【医】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【经】 belt

拉盖尔函数的英语翻译：

【计】 laguerre function

专业解析

连带拉盖尔函数（Associated Laguerre Functions），是数学物理方法中一类重要的特殊函数，在量子力学、电磁学等领域有广泛应用。以下从汉英对照角度详细解释其含义：

一、基本定义

中文术语：连带拉盖尔函数

英文术语：Associated Laguerre Functions

数学定义：

连带拉盖尔函数是拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）的推广形式，由两个参数 ( n )（阶数）和 ( k )（连带阶数）定义。其标准微分方程为：

$$ xfrac{dy}{dx} + (k+1-x)frac{dy}{dx} + ny = 0 $$

其显式表达式（Rodrigues公式）为：

$$ L_n^k(x) = frac{e^x x^{-k}}{n!} frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^{n+k}) $$

二、核心性质

正交性（Orthogonality）
在区间 ([0, infty)) 上，关于权函数 ( x^k e^{-x} ) 正交：

$$ int_0^infty x^k e^{-x} L_n^k(x) Lm^k(x)dx = frac{(n+k)!}{n!} delta{nm} $$

递推关系（Recurrence Relations）
满足递推公式：

$$ (n+1)L_{n+1}^k(x) = (2n + k + 1 - x)Ln^k(x) - (n+k)L{n-1}^k(x) $$

三、物理应用

量子力学（Quantum Mechanics）
用于描述氢原子径向波函数：

$$ R{nl}(r) propto e^{-r/(na)} r^l L{n-l-1}^{2l+1}left( frac{2r}{na} right) $$

其中 ( n ) 为主量子数，( l ) 为角量子数。

电磁学（Electromagnetism）
在激光物理中用于求解高斯光束的波动方程。

四、参考来源

《数学物理方法》（Methods of Mathematical Physics）
Arfken & Weber 著，第7版，第18章详细讨论连带拉盖尔函数的性质与应用。

《量子力学导论》（Introduction to Quantum Mechanics）
Griffiths 著，第4章氢原子波函数推导中完整使用连带拉盖尔函数。

NIST数学函数数字图书馆（DLMF）
美国国家标准技术研究院在线数据库提供严格定义与公式验证（链接：https://dlmf.nist.gov/18.3）。

五、汉英术语对照表

中文	英文
阶数	Order ( (n) )
连带阶数	Associated order ( (k) )
正交性	Orthogonality
递推关系	Recurrence relation
径向波函数	Radial wave function

网络扩展解释

连带拉盖尔函数（Associated Laguerre Functions）是拉盖尔多项式的一种推广形式，在数学和物理学中具有重要应用，尤其在量子力学中用于描述氢原子波函数。以下从定义、数学性质和应用三方面详细解释：

1.定义与形式

连带拉盖尔函数由拉盖尔多项式引入额外参数生成。其定义为： $$ L_n^{(alpha)}(x) = frac{x^{-alpha} e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} left( x^{n+alpha} e^{-x} right) $$ 其中：

( n ) 为非负整数（多项式阶数）；
( alpha ) 为实数参数（称为“连带参数”或“广义参数”）；
( x ) 为自变量（通常定义在非负实数域上）。

当 (alpha = 0) 时，退化为标准拉盖尔多项式 ( L_n(x) )。

2.数学性质

正交性：在区间 ( [0, infty) ) 上，连带拉盖尔函数关于权函数 ( x^alpha e^{-x} ) 正交： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$ 其中 (Gamma) 为伽马函数，(delta_{mn}) 为克罗内克符号。
微分方程：满足连带拉盖尔方程： $$ x y'' + (alpha + 1 - x) y' + n y = 0 $$ 该方程在量子力学氢原子模型的径向波函数求解中出现。
递推关系：可通过递推公式生成高阶多项式，例如： $$ (n+1)L_{n+1}^{(alpha)}(x) = (2n+alpha+1 -x)Ln^{(alpha)}(x) - (n+alpha)L{n-1}^{(alpha)}(x) $$

3.主要应用

量子力学：氢原子径向波函数可表示为： $$ R_{nl}(r) propto r^l e^{-r/(n amu)} L{n-l-1}^{(2l+1)}left( frac{2r}{n a_mu} right) $$ 其中 ( n, l ) 为主量子数和角量子数，( a_mu ) 为玻尔半径。
数值计算：用于高斯-拉盖尔积分法（Gauss-Laguerre quadrature），解决带指数权函数的积分问题。
统计学与工程学：在Gamma分布密度函数、信号处理中的系统建模等领域也有应用。

连带拉盖尔函数通过引入参数 (alpha) 扩展了标准拉盖尔多项式的适用范围，其正交性和微分方程特性使其成为解决物理与工程问题的关键工具。如需具体公式推导或代码实现，可参考量子力学教材或数值计算库（如MATLAB的mlaguerre函数）。