拉格朗日乘子英文解釋翻譯、拉格朗日乘子的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 lagrange multiplier
【化】 Lagrange multiplier

分詞翻譯：

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

格的英語翻譯：

case; division; metre; square; standard; style
【計】 lattice

朗的英語翻譯：

bright; loud and clear

日的英語翻譯：

daily; day; run; sun; time
【醫】 day; helio-

乘的英語翻譯：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【計】 multiply

子的英語翻譯：

【機】 leaven

專業解析

拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）是數學優化理論中的核心工具，用于求解帶約束條件的極值問題。其漢英對照定義為：在約束條件 ( g(x)=0 ) 下，使目标函數 ( f(x) ) 取得極值的點處，存在标量λ使得梯度滿足 ( abla f = lambda abla g ) 。該乘子λ即為拉格朗日乘子，反映了約束條件對目标函數的邊際影響率（來源：Princeton University Press《非線性規劃》第2章）。

從幾何角度解釋，拉格朗日乘子表示目标函數等高線與約束曲面相切時的比例系數。以三維空間為例，當約束曲面 ( g(x,y,z)=0 ) 與目标函數 ( f(x,y,z) ) 的等高面相切時，兩曲面的法向量呈比例關系，該比例系數即為λ（來源：MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus）。

該方法廣泛應用于：

經濟學中的效用最大化（如預算約束下的消費選擇）
物理學中的能量最小化問題
工程領域的資源最優配置
機器學習模型正則化（來源：Stanford University CS229 Lecture Notes）

需注意該方法的適用條件：僅當約束條件滿足約束規範（constraint qualification）時成立，特别是在非凸優化中可能存在局限性（來源：Boyd & Vandenberghe《Convex Optimization》第5章）。

網絡擴展解釋

拉格朗日乘子是優化問題中處理約束條件的核心工具，用于尋找函數在特定約束下的極值。以下從數學原理和幾何意義兩方面詳細解釋：

數學形式

設目标函數為( f(mathbf{x}) )，約束條件為( g(mathbf{x}) = 0 )
構造拉格朗日函數：
$$ L(mathbf{x}, lambda) = f(mathbf{x}) - lambda g(mathbf{x}) $$
通過求解方程組
$$ begin{cases}

abla_{mathbf{x}} L = 0 g(mathbf{x}) = 0 end{cases} $$ 得到極值候選點，其中(lambda)即為拉格朗日乘子。

幾何解釋在極值點處，目标函數梯度( abla f)與約束條件梯度( abla g)必須共線，即存在标量(lambda)使得： $$

abla f = lambda abla g $$ 乘子(lambda)的絕對值表示約束條件對目标函數的影響強度，符號指示方向關系。

應用示例
求( f(x,y)=x+y )在單位圓( x+y=1 )上的最大值：

構造拉格朗日函數( L = x+y - lambda(x+y-1) )
解得極值點( (frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2}) )對應(lambda = frac{1}{sqrt{2}} )
此時(lambda)反映每放松單位約束時目标函數的最大增幅。

該方法的擴展形式（KKT條件）可處理不等式約束，廣泛應用于經濟學影子價格分析、工程優化設計等領域。乘子的數值大小直接表征約束條件的資源稀缺性程度。