拉格朗日乘子英文解释翻译、拉格朗日乘子的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 lagrange multiplier
【化】 Lagrange multiplier

分词翻译：

拉的英语翻译：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【机】 pull; tension; tractive

格的英语翻译：

case; division; metre; square; standard; style
【计】 lattice

朗的英语翻译：

bright; loud and clear

日的英语翻译：

daily; day; run; sun; time
【医】 day; helio-

乘的英语翻译：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【计】 multiply

子的英语翻译：

【机】 leaven

专业解析

拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）是数学优化理论中的核心工具，用于求解带约束条件的极值问题。其汉英对照定义为：在约束条件 ( g(x)=0 ) 下，使目标函数 ( f(x) ) 取得极值的点处，存在标量λ使得梯度满足 ( abla f = lambda abla g ) 。该乘子λ即为拉格朗日乘子，反映了约束条件对目标函数的边际影响率（来源：Princeton University Press《非线性规划》第2章）。

从几何角度解释，拉格朗日乘子表示目标函数等高线与约束曲面相切时的比例系数。以三维空间为例，当约束曲面 ( g(x,y,z)=0 ) 与目标函数 ( f(x,y,z) ) 的等高面相切时，两曲面的法向量呈比例关系，该比例系数即为λ（来源：MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus）。

该方法广泛应用于：

经济学中的效用最大化（如预算约束下的消费选择）
物理学中的能量最小化问题
工程领域的资源最优配置
机器学习模型正则化（来源：Stanford University CS229 Lecture Notes）

需注意该方法的适用条件：仅当约束条件满足约束规范（constraint qualification）时成立，特别是在非凸优化中可能存在局限性（来源：Boyd & Vandenberghe《Convex Optimization》第5章）。

网络扩展解释

拉格朗日乘子是优化问题中处理约束条件的核心工具，用于寻找函数在特定约束下的极值。以下从数学原理和几何意义两方面详细解释：

数学形式

设目标函数为( f(mathbf{x}) )，约束条件为( g(mathbf{x}) = 0 )
构造拉格朗日函数：
$$ L(mathbf{x}, lambda) = f(mathbf{x}) - lambda g(mathbf{x}) $$
通过求解方程组
$$ begin{cases}

abla_{mathbf{x}} L = 0 g(mathbf{x}) = 0 end{cases} $$ 得到极值候选点，其中(lambda)即为拉格朗日乘子。

几何解释在极值点处，目标函数梯度( abla f)与约束条件梯度( abla g)必须共线，即存在标量(lambda)使得： $$

abla f = lambda abla g $$ 乘子(lambda)的绝对值表示约束条件对目标函数的影响强度，符号指示方向关系。

应用示例
求( f(x,y)=x+y )在单位圆( x+y=1 )上的最大值：

构造拉格朗日函数( L = x+y - lambda(x+y-1) )
解得极值点( (frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2}) )对应(lambda = frac{1}{sqrt{2}} )
此时(lambda)反映每放松单位约束时目标函数的最大增幅。

该方法的扩展形式（KKT条件）可处理不等式约束，广泛应用于经济学影子价格分析、工程优化设计等领域。乘子的数值大小直接表征约束条件的资源稀缺性程度。