标準正交系英文解釋翻譯、标準正交系的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 orthonormal system

分詞翻譯：

标準的英語翻譯：

criteria; level; mark; measure; normal; par; rule; standard; criterion
【計】 etalon; normal; STD
【化】 standards
【醫】 norm; normo-; rubric; standard
【經】 denominator; norm; standard

正交的英語翻譯：

【計】 quadrature
【醫】 orthogonality

系的英語翻譯：

attach; fasten; tie; corollary; series; system; department; feel anxious
relate to
【計】 Coset
【醫】 series; system; systema
【經】 ratio control

專業解析

在數學（特别是線性代數和泛函分析）中，“标準正交系”是一個核心概念，其英文對應術語為Orthonormal System 或Orthonormal Set。

定義與核心含義：

一個向量集合（通常是在内積空間或希爾伯特空間中）被稱為标準正交系，當且僅當該集合中的向量同時滿足以下兩個條件：

正交性 (Orthogonality)：集合中任意兩個不同的向量，它們的内積等于零。
- 數學表達：對于集合中任意兩個不同的向量 ( mathbf{u} ) 和 ( mathbf{v} ) (( mathbf{u} eq mathbf{v} ))，有 ( langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = 0 )。
- 幾何意義：這表示集合中的向量彼此“垂直”（在歐幾裡得空間中直觀理解）。
歸一性 (Normalization)：集合中的每一個向量，其範數（長度）都等于 1。
- 數學表達：對于集合中的任意向量 ( mathbf{u} )，有 ( |mathbf{u}| = sqrt{langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle} = 1 )。
- 幾何意義：每個向量都是單位長度。

關鍵特性與應用：

線性無關性：标準正交系必然是線性無關的集合。這意味着集合中的任何一個向量都不能表示為其他向量的線性組合。
正交基：如果一個标準正交系恰好張成（Span）了整個内積空間，那麼它就被稱為該空間的标準正交基 (Orthonormal Basis)。這是最理想的情況，因為空間中的任何向量都可以唯一地表示為該标準正交基中向量的線性組合，且組合系數可以直接通過内積計算獲得（即傅裡葉系數）。
計算簡便性：使用标準正交基進行向量表示、投影計算、求解最小二乘問題等運算會變得非常簡單和高效，因為内積計算在基向量之間要麼是 0（不同向量），要麼是 1（自身）。
常見例子：
- 在歐幾裡得空間 ( mathbb{R}^n ) 中，标準基底 ( { mathbf{e}_1 = (1, 0, dots, 0), mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, dots, 0), dots, mathbf{e}_n = (0, dots, 0, 1) } ) 就是一個标準正交基。
- 在函數空間（如 ( L([-pi, pi]) )）中，三角函數系 ( left{ frac{1}{sqrt{2pi}}, frac{cos(nx)}{sqrt{pi}}, frac{sin(nx)}{sqrt{pi}} right} )（( n = 1, 2, 3, dots )）構成一個标準正交系（進而構成傅裡葉級數的基礎）。

權威參考來源：

該定義和性質是線性代數和泛函分析的标準内容，可以在以下類型的權威資料中找到詳細論述：

經典教材：如 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra（線性代數導論）， David C. Lay 的 Linear Algebra and Its Applications（線性代數及其應用）， Walter Rudin 的 Functional Analysis（泛函分析）等。
知名數學百科全書：如 Springer 的 Encyclopedia of Mathematics (可在其官網搜索 "orthonormal system")。
大學開放課程資源：如 MIT OpenCourseWare 的線性代數課程資料。

網絡擴展解釋

标準正交系是線性代數和函數空間中的一個重要概念，具有嚴格的數學定義和應用價值。

一、數學定義

在向量空間（如歐幾裡得空間或希爾伯特空間）中，一組非零向量集合${e_1,e_2,...,e_n}$稱為标準正交系，當且僅當滿足：

正交性：任意兩個不同向量内積為零，即$langle e_i,e_j rangle=0(i eq j)$
單位長度：每個向量自身内積為1，即$|e_i|=langle e_i,e_i rangle=1$

二、典型示例

三維空間标準基：$hat{i}=(1,0,0)$，$hat{j}=(0,1,0)$，$hat{k}=(0,0,1)$
傅裡葉分析基：區間$[-pi,pi]$上的三角函數系$left{frac{1}{sqrt{2pi}}, frac{cos nx}{sqrt{pi}}, frac{sin nx}{sqrt{pi}}right}$
量子力學基矢：量子态空間中的正交歸一化波函數系

三、核心性質

線性無關性：标準正交系中的向量必定線性無關
坐标簡化：任意向量可表示為$boldsymbol{v}=sum_{i=1}^n langle boldsymbol{v},e_i rangle e_i$
範數公式：$|boldsymbol{v}|=sum_{i=1}^n |langle boldsymbol{v},e_i rangle|$（Parseval等式）

四、應用領域

信號處理中的正交編碼
量子力學态空間展開
計算機圖形學中的坐标變換
數據降維技術（如主成分分析）

在無限維希爾伯特空間中，标準正交系可擴展為标準正交基（需滿足完全性條件）。通過Gram-Schmidt正交化過程，可将任意線性無關向量組轉化為标準正交系。