标准正交系英文解释翻译、标准正交系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 orthonormal system

分词翻译：

标准的英语翻译：

criteria; level; mark; measure; normal; par; rule; standard; criterion
【计】 etalon; normal; STD
【化】 standards
【医】 norm; normo-; rubric; standard
【经】 denominator; norm; standard

正交的英语翻译：

【计】 quadrature
【医】 orthogonality

系的英语翻译：

attach; fasten; tie; corollary; series; system; department; feel anxious
relate to
【计】 Coset
【医】 series; system; systema
【经】 ratio control

专业解析

在数学（特别是线性代数和泛函分析）中，“标准正交系”是一个核心概念，其英文对应术语为Orthonormal System 或Orthonormal Set。

定义与核心含义：

一个向量集合（通常是在内积空间或希尔伯特空间中）被称为标准正交系，当且仅当该集合中的向量同时满足以下两个条件：

正交性 (Orthogonality)：集合中任意两个不同的向量，它们的内积等于零。
- 数学表达：对于集合中任意两个不同的向量 ( mathbf{u} ) 和 ( mathbf{v} ) (( mathbf{u} eq mathbf{v} ))，有 ( langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = 0 )。
- 几何意义：这表示集合中的向量彼此“垂直”（在欧几里得空间中直观理解）。
归一性 (Normalization)：集合中的每一个向量，其范数（长度）都等于 1。
- 数学表达：对于集合中的任意向量 ( mathbf{u} )，有 ( |mathbf{u}| = sqrt{langle mathbf{u}, mathbf{u} rangle} = 1 )。
- 几何意义：每个向量都是单位长度。

关键特性与应用：

线性无关性：标准正交系必然是线性无关的集合。这意味着集合中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。
正交基：如果一个标准正交系恰好张成（Span）了整个内积空间，那么它就被称为该空间的标准正交基 (Orthonormal Basis)。这是最理想的情况，因为空间中的任何向量都可以唯一地表示为该标准正交基中向量的线性组合，且组合系数可以直接通过内积计算获得（即傅里叶系数）。
计算简便性：使用标准正交基进行向量表示、投影计算、求解最小二乘问题等运算会变得非常简单和高效，因为内积计算在基向量之间要么是 0（不同向量），要么是 1（自身）。
常见例子：
- 在欧几里得空间 ( mathbb{R}^n ) 中，标准基底 ( { mathbf{e}_1 = (1, 0, dots, 0), mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, dots, 0), dots, mathbf{e}_n = (0, dots, 0, 1) } ) 就是一个标准正交基。
- 在函数空间（如 ( L([-pi, pi]) )）中，三角函数系 ( left{ frac{1}{sqrt{2pi}}, frac{cos(nx)}{sqrt{pi}}, frac{sin(nx)}{sqrt{pi}} right} )（( n = 1, 2, 3, dots )）构成一个标准正交系（进而构成傅里叶级数的基础）。

权威参考来源：

该定义和性质是线性代数和泛函分析的标准内容，可以在以下类型的权威资料中找到详细论述：

经典教材：如 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra（线性代数导论）， David C. Lay 的 Linear Algebra and Its Applications（线性代数及其应用）， Walter Rudin 的 Functional Analysis（泛函分析）等。
知名数学百科全书：如 Springer 的 Encyclopedia of Mathematics (可在其官网搜索 "orthonormal system")。
大学开放课程资源：如 MIT OpenCourseWare 的线性代数课程资料。

网络扩展解释

标准正交系是线性代数和函数空间中的一个重要概念，具有严格的数学定义和应用价值。

一、数学定义

在向量空间（如欧几里得空间或希尔伯特空间）中，一组非零向量集合${e_1,e_2,...,e_n}$称为标准正交系，当且仅当满足：

正交性：任意两个不同向量内积为零，即$langle e_i,e_j rangle=0(i eq j)$
单位长度：每个向量自身内积为1，即$|e_i|=langle e_i,e_i rangle=1$

二、典型示例

三维空间标准基：$hat{i}=(1,0,0)$，$hat{j}=(0,1,0)$，$hat{k}=(0,0,1)$
傅里叶分析基：区间$[-pi,pi]$上的三角函数系$left{frac{1}{sqrt{2pi}}, frac{cos nx}{sqrt{pi}}, frac{sin nx}{sqrt{pi}}right}$
量子力学基矢：量子态空间中的正交归一化波函数系

三、核心性质

线性无关性：标准正交系中的向量必定线性无关
坐标简化：任意向量可表示为$boldsymbol{v}=sum_{i=1}^n langle boldsymbol{v},e_i rangle e_i$
范数公式：$|boldsymbol{v}|=sum_{i=1}^n |langle boldsymbol{v},e_i rangle|$（Parseval等式）

四、应用领域

信号处理中的正交编码
量子力学态空间展开
计算机图形学中的坐标变换
数据降维技术（如主成分分析）

在无限维希尔伯特空间中，标准正交系可扩展为标准正交基（需满足完全性条件）。通过Gram-Schmidt正交化过程，可将任意线性无关向量组转化为标准正交系。