平滑曲線英文解釋翻譯、平滑曲線的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 smooth curve

分詞翻譯：

平滑的英語翻譯：

flatness; smoothness
【計】 smoothing
【醫】 leio-; lio-

曲線的英語翻譯：

curve
【醫】 curve
【經】 curve

專業解析

在漢英詞典框架下，"平滑曲線"對應的英文術語為"smooth curve"，指數學和工程領域中具備連續可導特性的連續函數圖形。其核心定義包含以下三方面：

1. 數學定義

   根據《數學分析基礎》（高等教育出版社）的表述，平滑曲線需滿足以下條件：

   $$C text{ continuity: } frac{dy}{dx} text{ 在定義域内處處存在且連續}$$

   該特性确保曲線上無尖點或突變轉折，例如圓弧、抛物線均屬于經典平滑曲線（來源：Springer《微分幾何教程》）。

2. 工程應用标準

   在機械制造領域，ISO 1101:2017标準規定，精密部件的輪廓曲線需滿足二階導數連續（即曲率連續），避免應力集中現象（來源：國際标準化組織技術文檔）。

3. 計算機圖形學實現

   Bézier曲線與B樣條曲線作為典型參數化平滑曲線，通過控制點插值算法實現曲率漸變，廣泛應用于汽車造型設計（來源：ACM圖形學期刊）和三維建模軟件（來源：Autodesk技術白皮書）。

網絡擴展解釋

在數學和幾何學中，“平滑曲線”通常指滿足一定光滑性條件的曲線。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

• 數學上稱為“光滑曲線”（smooth curve）
• 要求曲線在定義域内至少存在連續的一階導數（即C¹連續）
• 更高階的平滑性可能要求存在連續的二階導數（C²）、三階導數（C³），甚至無限次可導（C^∞）

2. 核心特征

• 無角點：曲線上任意點都有唯一的切線方向
• 無突變：切線方向連續變化，不會突然轉折
• 可參數化：通常能用參數方程表示為$mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其中x(t)和y(t)都是光滑函數

3. 分類标準

   • C⁰連續：僅位置連續（不滿足平滑要求）
   • C¹連續：切線連續（基礎平滑）
   • C²連續：曲率連續（高級平滑）
   • G¹/G²連續：幾何連續性（弱于參數連續性但視覺更自然）

4. 典型應用

• 物理運動軌迹（保證速度和加速度連續）
• 計算機圖形學（Bézier曲線、B樣條曲線）
• 工業設計（汽車/飛機曲面建模）
• 微分幾何研究（流形上的曲線分析）

5. 常見例子

• 圓弧：$mathbf{r}(θ) = (Rcosθ, Rsinθ)$（無限可導）
• 三次多項式曲線：$mathbf{r}(t) = (t, at³ + bt² + ct + d)$
• 指數螺旋線：$mathbf{r}(t) = (e^{kt}cos t, e^{kt}sin t)$

需要注意的是，不同學科對“平滑”的具體要求可能不同：數學家通常要求C^∞光滑，工程師可能接受C²連續，而計算機圖形學中G²連續即可滿足視覺平滑需求。

分類

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