平滑曲线英文解释翻译、平滑曲线的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 smooth curve

分词翻译：

平滑的英语翻译：

flatness; smoothness
【计】 smoothing
【医】 leio-; lio-

曲线的英语翻译：

curve
【医】 curve
【经】 curve

专业解析

在汉英词典框架下，"平滑曲线"对应的英文术语为"smooth curve"，指数学和工程领域中具备连续可导特性的连续函数图形。其核心定义包含以下三方面：

1. 数学定义

   根据《数学分析基础》（高等教育出版社）的表述，平滑曲线需满足以下条件：

   $$C text{ continuity: } frac{dy}{dx} text{ 在定义域内处处存在且连续}$$

   该特性确保曲线上无尖点或突变转折，例如圆弧、抛物线均属于经典平滑曲线（来源：Springer《微分几何教程》）。

2. 工程应用标准

   在机械制造领域，ISO 1101:2017标准规定，精密部件的轮廓曲线需满足二阶导数连续（即曲率连续），避免应力集中现象（来源：国际标准化组织技术文档）。

3. 计算机图形学实现

   Bézier曲线与B样条曲线作为典型参数化平滑曲线，通过控制点插值算法实现曲率渐变，广泛应用于汽车造型设计（来源：ACM图形学期刊）和三维建模软件（来源：Autodesk技术白皮书）。

网络扩展解释

在数学和几何学中，“平滑曲线”通常指满足一定光滑性条件的曲线。以下是详细解释：

1. 基本定义

• 数学上称为“光滑曲线”（smooth curve）
• 要求曲线在定义域内至少存在连续的一阶导数（即C¹连续）
• 更高阶的平滑性可能要求存在连续的二阶导数（C²）、三阶导数（C³），甚至无限次可导（C^∞）

2. 核心特征

• 无角点：曲线上任意点都有唯一的切线方向
• 无突变：切线方向连续变化，不会突然转折
• 可参数化：通常能用参数方程表示为$mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其中x(t)和y(t)都是光滑函数

3. 分类标准

   • C⁰连续：仅位置连续（不满足平滑要求）
   • C¹连续：切线连续（基础平滑）
   • C²连续：曲率连续（高级平滑）
   • G¹/G²连续：几何连续性（弱于参数连续性但视觉更自然）

4. 典型应用

• 物理运动轨迹（保证速度和加速度连续）
• 计算机图形学（Bézier曲线、B样条曲线）
• 工业设计（汽车/飞机曲面建模）
• 微分几何研究（流形上的曲线分析）

5. 常见例子

• 圆弧：$mathbf{r}(θ) = (Rcosθ, Rsinθ)$（无限可导）
• 三次多项式曲线：$mathbf{r}(t) = (t, at³ + bt² + ct + d)$
• 指数螺旋线：$mathbf{r}(t) = (e^{kt}cos t, e^{kt}sin t)$

需要注意的是，不同学科对“平滑”的具体要求可能不同：数学家通常要求C^∞光滑，工程师可能接受C²连续，而计算机图形学中G²连续即可满足视觉平滑需求。

分类

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