孫子剩餘定理英文解釋翻譯、孫子剩餘定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 CRT

分詞翻譯：

孫子的英語翻譯：

grandchildren; grandson

剩餘的英語翻譯：

residue; leavings; overmeasure; overplus; remain; remainder; remnant; spare
surplus
【醫】 R.; residue; residuum; rest; vestige; vestigium
【經】 overplus

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

孫子剩餘定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是中國古代數學的重要成就之一，最早見于《孫子算經》中的“物不知數”問題。該定理用于解決模運算中的同餘方程組問題，即在已知兩兩互質的模數條件下，可唯一确定滿足所有同餘條件的解。

數學定義與表達

若給定一組兩兩互質的正整數( m_1, m_2, ldots, m_k )，及對應的餘數( a_1, a_2, ldots, a_k )，則存在唯一解( x )滿足：

x equiv a_i pmod{mi} quad (1 leq i leq k)

其通解可表示為( x = M cdot y + sum{i=1}^k a_i cdot M_i cdot M_i^{-1} )，其中( M = m_1 times m_2 times ldots times m_k )，( M_i = M/m_i )，而( M_i^{-1} )為( M_i )模( m_i )的逆元。這一構造性解法被廣泛應用于密碼學與編碼理論。

曆史背景與跨語言譯名

西方學界稱其為“中國剩餘定理”（Chinese Remainder Theorem），源于《孫子算經》通過絲綢之路傳入歐洲的傳播路徑。其漢英譯名體現了東西方數學傳統的交融，英文術語由高斯在《算術研究》中系統化推廣。

現代應用領域

密碼學：RSA算法中加速模幂運算，提升加解密效率（IEEE Xplore文獻庫）；
計算機科學：多精度計算與并行算法設計（Springer數學百科）；
工程領域：信號處理中的相位匹配問題（美國數學會評論）。

該定理的普適性使其成為離散數學教學的核心内容，相關證明方法在《Concrete Mathematics》等經典教材中有詳細推導。

網絡擴展解釋

孫子剩餘定理（又稱中國剩餘定理）是中國古代數學的重要成果，主要用于求解一元線性同餘方程組。其核心思想是通過構造性解法，将多個同餘方程合并為一個通解。以下是詳細解釋：

1.曆史背景

該定理最早見于《孫子算經》中的“物不知數”問題：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求此數的最小正整數解（答案為23）。
這一方法後經推廣，成為數論中解決同餘問題的經典定理，并被西方稱為“中國剩餘定理”。

2.數學表述

適用條件：模數 (m_1, m_2, dots, m_n) 兩兩互質（即任意兩個模數的最大公約數為1）。
同餘方程組形式： [ begin{cases} x equiv a_1(text{mod}m_1) x equiv a_2(text{mod}m_2) vdots x equiv a_n(text{mod}m_n) end{cases} ]
通解構造：
1. 計算總模數 (M = m_1 times m_2 times dots times m_n)；
2. 對每個模數 (m_i)，計算部分模數 (M_i = M / m_i)；
3. 找到 (M_i) 在模 (m_i) 下的逆元 (t_i)（即 (M_i cdot t_i equiv 1(text{mod}m_i))）；
4. 通解為 (x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + dots + a_n t_n M_n + kM)（(k) 為整數）；
5. 最小正整數解為 (xtext{mod}M)。

3.經典例題解析（以“物不知數”為例）

問題：求 (x) 滿足： [ begin{cases} x equiv 2(text{mod}3) x equiv 3(text{mod}5) x equiv 2(text{mod}7) end{cases} ]
解法：
1. 總模數 (M = 3 times 5 times 7 = 105)；
2. 計算部分模數 (M_1=35), (M_2=21), (M_3=15)；
3. 求逆元：(35 equiv 2(text{mod}3) rightarrow t_1=2)（因 (2 times 2=4 equiv 1(text{mod}3))）； (21 equiv 1(text{mod}5) rightarrow t_2=1)； (15 equiv 1(text{mod}7) rightarrow t_3=1)；
4. 代入公式：(x = 2 times 2 times 35 + 3 times 1 times 21 + 2 times 1 times 15 = 140 + 63 + 30 = 233)；
5. 最小解：(233text{mod}105 = 23)。

4.定理擴展與意義

若模數非兩兩互質，方程組可能無解或需通過合并同餘式調整；
定理在密碼學、編碼理論等領域有廣泛應用，例如RSA算法中的模運算優化。

孫子剩餘定理通過系統化的構造方法，将多個同餘條件整合為單一解，體現了中國古代數學的算法智慧。其核心在于模數互質時的逆元存在性，保證了解的唯一性和有效性。