孙子剩余定理英文解释翻译、孙子剩余定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 CRT

分词翻译：

孙子的英语翻译：

grandchildren; grandson

剩余的英语翻译：

residue; leavings; overmeasure; overplus; remain; remainder; remnant; spare
surplus
【医】 R.; residue; residuum; rest; vestige; vestigium
【经】 overplus

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

孙子剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是中国古代数学的重要成就之一，最早见于《孙子算经》中的“物不知数”问题。该定理用于解决模运算中的同余方程组问题，即在已知两两互质的模数条件下，可唯一确定满足所有同余条件的解。

数学定义与表达

若给定一组两两互质的正整数( m_1, m_2, ldots, m_k )，及对应的余数( a_1, a_2, ldots, a_k )，则存在唯一解( x )满足：

x equiv a_i pmod{mi} quad (1 leq i leq k)

其通解可表示为( x = M cdot y + sum{i=1}^k a_i cdot M_i cdot M_i^{-1} )，其中( M = m_1 times m_2 times ldots times m_k )，( M_i = M/m_i )，而( M_i^{-1} )为( M_i )模( m_i )的逆元。这一构造性解法被广泛应用于密码学与编码理论。

历史背景与跨语言译名

西方学界称其为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），源于《孙子算经》通过丝绸之路传入欧洲的传播路径。其汉英译名体现了东西方数学传统的交融，英文术语由高斯在《算术研究》中系统化推广。

现代应用领域

密码学：RSA算法中加速模幂运算，提升加解密效率（IEEE Xplore文献库）；
计算机科学：多精度计算与并行算法设计（Springer数学百科）；
工程领域：信号处理中的相位匹配问题（美国数学会评论）。

该定理的普适性使其成为离散数学教学的核心内容，相关证明方法在《Concrete Mathematics》等经典教材中有详细推导。

网络扩展解释

孙子剩余定理（又称中国剩余定理）是中国古代数学的重要成果，主要用于求解一元线性同余方程组。其核心思想是通过构造性解法，将多个同余方程合并为一个通解。以下是详细解释：

1.历史背景

该定理最早见于《孙子算经》中的“物不知数”问题：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求此数的最小正整数解（答案为23）。
这一方法后经推广，成为数论中解决同余问题的经典定理，并被西方称为“中国剩余定理”。

2.数学表述

适用条件：模数 (m_1, m_2, dots, m_n) 两两互质（即任意两个模数的最大公约数为1）。
同余方程组形式： [ begin{cases} x equiv a_1(text{mod}m_1) x equiv a_2(text{mod}m_2) vdots x equiv a_n(text{mod}m_n) end{cases} ]
通解构造：
1. 计算总模数 (M = m_1 times m_2 times dots times m_n)；
2. 对每个模数 (m_i)，计算部分模数 (M_i = M / m_i)；
3. 找到 (M_i) 在模 (m_i) 下的逆元 (t_i)（即 (M_i cdot t_i equiv 1(text{mod}m_i))）；
4. 通解为 (x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + dots + a_n t_n M_n + kM)（(k) 为整数）；
5. 最小正整数解为 (xtext{mod}M)。

3.经典例题解析（以“物不知数”为例）

问题：求 (x) 满足： [ begin{cases} x equiv 2(text{mod}3) x equiv 3(text{mod}5) x equiv 2(text{mod}7) end{cases} ]
解法：
1. 总模数 (M = 3 times 5 times 7 = 105)；
2. 计算部分模数 (M_1=35), (M_2=21), (M_3=15)；
3. 求逆元：(35 equiv 2(text{mod}3) rightarrow t_1=2)（因 (2 times 2=4 equiv 1(text{mod}3))）； (21 equiv 1(text{mod}5) rightarrow t_2=1)； (15 equiv 1(text{mod}7) rightarrow t_3=1)；
4. 代入公式：(x = 2 times 2 times 35 + 3 times 1 times 21 + 2 times 1 times 15 = 140 + 63 + 30 = 233)；
5. 最小解：(233text{mod}105 = 23)。

4.定理扩展与意义

若模数非两两互质，方程组可能无解或需通过合并同余式调整；
定理在密码学、编码理论等领域有广泛应用，例如RSA算法中的模运算优化。

孙子剩余定理通过系统化的构造方法，将多个同余条件整合为单一解，体现了中国古代数学的算法智慧。其核心在于模数互质时的逆元存在性，保证了解的唯一性和有效性。