素多項式英文解釋翻譯、素多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 prime polynomial

分詞翻譯：

素的英語翻譯：

element; native; plain; usually; white
【建】 chart

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

在數學領域，特别是抽象代數與多項式理論中，“素多項式”對應的标準英文術語是Irreducible Polynomial。以下是從漢英詞典角度并結合數學定義進行的詳細解釋：

素多項式 (sù duō xiàng shì) / Irreducible Polynomial

核心定義：指在給定的系數域（如有理數域 Q、實數域 R 或有限域 F_q）上，不能被分解為兩個次數低于其自身次數的非平凡（即非常數）多項式之積的多項式。換言之，它在該域上不存在非平凡因子（除了常數和常數倍本身）。
與“素/質”概念的類比：該名稱源于其與整數中“素數/質數”概念的相似性。正如質數在整數環中不能被分解為更小整數的乘積（除了1和自身），素多項式在多項式環中也不能被分解為更低次多項式的乘積（除了常數和常數倍）。因此，“素”在此處意指“不可分解的”、“基本的”。
關鍵性質：
- 唯一性（在相伴意義下）：任何非常數多項式都可以唯一地（在相伴意義下，即允許乘以非零常數因子）分解為該域上素多項式的乘積。這被稱為多項式的唯一因式分解定理，是多項式理論的核心定理之一。
- 根的關聯：素多項式在複數域上可能仍有根（例如 $x + 1$ 在實數域 R 上不可約，但在複數域 C 上有根 $i$ 和 $-i$）。其不可約性反映的是在給定系數域上無法找到更低次的有理根或因式。
判定與應用：
- 判定方法：判斷一個多項式是否素多項式（不可約）依賴于系數域。常用方法包括艾森斯坦不可約判别法、模 p 約化法等。
- 重要應用：素多項式在構造有限域（伽羅瓦域）中扮演核心角色。例如，有限域 $F_{p^n}$ 通常通過模一個在 $F_p$ 上的 n 次素多項式來構造。它們在編碼理論（如Reed-Solomon碼）、密碼學（如 AES 算法）和糾錯碼等領域有廣泛應用。

權威參考來源：

MathWorld - Irreducible Polynomial: 提供嚴格定義、基本性質及判别法。 (Wolfram Research) https://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html
Encyclopedia of Mathematics - Irreducible Polynomial: 提供數學背景、唯一分解定理及與質數類比。 (Springer) https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irreducible_polynomial
MIT OpenCourseWare - Finite Fields and Applications: 闡述素多項式在構造有限域及在編碼、密碼學中的應用實例。 (Massachusetts Institute of Technology) https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-451-principles-of-digital-communication-ii-spring-2005/lecture-notes/ (需查閱相關講義章節，如有限域構造部分)。

網絡擴展解釋

素多項式是抽象代數和多項式理論中的重要概念，其作用類似于整數中的素數。以下是詳細解釋：

1. 定義素多項式（又稱不可約多項式）是指在給定系數域上無法分解為兩個次數更低的多項式的乘積。例如在有理數域$mathbb{Q}$中，$x + 1$無法分解為兩個一次多項式之積，因此是素多項式。

2. 域依賴性素多項式與所在域密切相關：

在實數域$mathbb{R}$中，$x + 1$不可約
在複數域$mathbb{C}$中，可分解為$(x+i)(x-i)$，因此可約

3. 判定方法常用艾森斯坦判别法：若存在素數$p$滿足：

$p$整除所有系數（除首項）
$p$不整除常數項則多項式在$mathbb{Q}$上不可約。例如$x + 2x + 2$對$p=2$滿足條件，故不可約。

4. 應用領域

構造有限域擴展（如GF$(2)$通過三次不可約多項式生成）
代數數論中的多項式環結構研究
編碼理論中的糾錯碼設計

5. 與素數的類比 | 性質| 素數| 素多項式 | |-----------|-------------|------------| | 分解唯一性| 整數唯一分解定理 | 多項式唯一分解定理 | | 基本構成單元 | 所有整數可分解為素數積 | 所有多項式可分解為素多項式積 | | 特殊情形| 2是素數| $x$在$mathbb{Q}$上是素多項式 |

需要注意的是，在多項式環中，素多項式與不可約多項式是等價概念，但在更一般的環結構中可能存在差異。