素多项式英文解释翻译、素多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 prime polynomial

分词翻译：

素的英语翻译：

element; native; plain; usually; white
【建】 chart

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

在数学领域，特别是抽象代数与多项式理论中，“素多项式”对应的标准英文术语是Irreducible Polynomial。以下是从汉英词典角度并结合数学定义进行的详细解释：

素多项式 (sù duō xiàng shì) / Irreducible Polynomial

核心定义：指在给定的系数域（如有理数域 Q、实数域 R 或有限域 F_q）上，不能被分解为两个次数低于其自身次数的非平凡（即非常数）多项式之积的多项式。换言之，它在该域上不存在非平凡因子（除了常数和常数倍本身）。
与“素/质”概念的类比：该名称源于其与整数中“素数/质数”概念的相似性。正如质数在整数环中不能被分解为更小整数的乘积（除了1和自身），素多项式在多项式环中也不能被分解为更低次多项式的乘积（除了常数和常数倍）。因此，“素”在此处意指“不可分解的”、“基本的”。
关键性质：
- 唯一性（在相伴意义下）：任何非常数多项式都可以唯一地（在相伴意义下，即允许乘以非零常数因子）分解为该域上素多项式的乘积。这被称为多项式的唯一因式分解定理，是多项式理论的核心定理之一。
- 根的关联：素多项式在复数域上可能仍有根（例如 $x + 1$ 在实数域 R 上不可约，但在复数域 C 上有根 $i$ 和 $-i$）。其不可约性反映的是在给定系数域上无法找到更低次的有理根或因式。
判定与应用：
- 判定方法：判断一个多项式是否素多项式（不可约）依赖于系数域。常用方法包括艾森斯坦不可约判别法、模 p 约化法等。
- 重要应用：素多项式在构造有限域（伽罗瓦域）中扮演核心角色。例如，有限域 $F_{p^n}$ 通常通过模一个在 $F_p$ 上的 n 次素多项式来构造。它们在编码理论（如Reed-Solomon码）、密码学（如 AES 算法）和纠错码等领域有广泛应用。

权威参考来源：

MathWorld - Irreducible Polynomial: 提供严格定义、基本性质及判别法。 (Wolfram Research) https://mathworld.wolfram.com/IrreduciblePolynomial.html
Encyclopedia of Mathematics - Irreducible Polynomial: 提供数学背景、唯一分解定理及与质数类比。 (Springer) https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irreducible_polynomial
MIT OpenCourseWare - Finite Fields and Applications: 阐述素多项式在构造有限域及在编码、密码学中的应用实例。 (Massachusetts Institute of Technology) https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-451-principles-of-digital-communication-ii-spring-2005/lecture-notes/ (需查阅相关讲义章节，如有限域构造部分)。

网络扩展解释

素多项式是抽象代数和多项式理论中的重要概念，其作用类似于整数中的素数。以下是详细解释：

1. 定义素多项式（又称不可约多项式）是指在给定系数域上无法分解为两个次数更低的多项式的乘积。例如在有理数域$mathbb{Q}$中，$x + 1$无法分解为两个一次多项式之积，因此是素多项式。

2. 域依赖性素多项式与所在域密切相关：

在实数域$mathbb{R}$中，$x + 1$不可约
在复数域$mathbb{C}$中，可分解为$(x+i)(x-i)$，因此可约

3. 判定方法常用艾森斯坦判别法：若存在素数$p$满足：

$p$整除所有系数（除首项）
$p$不整除常数项则多项式在$mathbb{Q}$上不可约。例如$x + 2x + 2$对$p=2$满足条件，故不可约。

4. 应用领域

构造有限域扩展（如GF$(2)$通过三次不可约多项式生成）
代数数论中的多项式环结构研究
编码理论中的纠错码设计

5. 与素数的类比 | 性质| 素数| 素多项式 | |-----------|-------------|------------| | 分解唯一性| 整数唯一分解定理 | 多项式唯一分解定理 | | 基本构成单元 | 所有整数可分解为素数积 | 所有多项式可分解为素多项式积 | | 特殊情形| 2是素数| $x$在$mathbb{Q}$上是素多项式 |

需要注意的是，在多项式环中，素多项式与不可约多项式是等价概念，但在更一般的环结构中可能存在差异。