數學歸納法英文解釋翻譯、數學歸納法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 mathematical induction

分詞翻譯：

數學的英語翻譯：

math; mathematics
【機】 mathematics

歸納法的英語翻譯：

induction
【計】 induction; method of induction
【經】 inductive method

專業解析

數學歸納法 (Mathematical Induction) 是一種用于證明與自然數（正整數）相關的命題或性質 $P(n)$ 對所有自然數 $n$ 都成立的嚴格數學證明方法。其核心思想是通過有限的兩步來達成對無限多個情況的證明。

漢英對照解釋：

基礎步驟 (Base Case / Basis Step)：
- 中文：證明當 $n$ 取初始值（通常是最小的自然數，如 $n=1$ 或 $n=0$）時，命題 $P(n)$ 成立。即驗證 $P(1)$（或 $P(0)$）為真。
- 英文： Prove that the statement $P(n)$ holds for the initial value of $n$ (usually the smallest natural number, like $n=1$ or $n=0$). That is, verify that $P(1)$ (or $P(0)$) is true.
歸納步驟 (Inductive Step)：
- 中文：假設命題 $P(k)$ 對某個固定的自然數 $k$（$k$ 大于或等于基礎步驟中的初始值）成立（這個假設稱為歸納假設），然後基于此假設推導出命題 $P(k+1)$ 也必然成立。
- 英文： Assume that $P(k)$ is true for somefixed natural number $k$ (where $k$ is greater than or equal to the initial value in the base case). This assumption is called theinductive hypothesis. Then, using this hypothesis, prove that $P(k+1)$ must also be true.

數學表達：數學歸納法的原理可以形式化表述為： $$ begin{align} &text{若 } P(1) text{ 為真，且} &forall k in mathbb{N}, , P(k) to P(k+1) text{ 為真，} &text{則 } forall n in mathbb{N}, , P(n) text{ 為真。} end{align} $$

核心邏輯與類比：

基礎步驟如同驗證多米諾骨牌的第一塊會倒下。
歸納步驟如同證明：隻要任意一塊多米諾骨牌（第 $k$ 塊）倒下，它必然會導緻緊挨着的下一塊骨牌（第 $k+1$ 塊）也倒下。
結合基礎步驟（第一塊倒下）和歸納步驟（前一塊倒導緻後一塊倒），即可得出結論：所有的多米諾骨牌（所有自然數 $n$ 對應的命題 $P(n)$）都會倒下（成立）。

應用範圍：數學歸納法廣泛應用于證明涉及自然數的恒等式、不等式、數論定理、組合恒等式、算法正确性（如循環不變式）等。例如，證明前 $n$ 個自然數之和公式 $sum_{i=1}^{n} i = frac{n(n+1)}{2}$，或者證明 $2^n > n$ 對于所有 $n > 4$ 成立等。

權威性參考：

《數學原理》(Principia Mathematica)：由阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德和伯特蘭·羅素合著的裡程碑式著作，雖然其處理邏輯和集合論基礎的方式非常複雜，但其中系統性地運用并形式化了數學歸納原理作為證明自然數性質的基礎。
《什麼是數學》(What is Mathematics?)：理查德·柯朗和赫伯特·羅賓斯所著的經典數學科普與教材。該書在介紹自然數公理系統（皮亞諾公理）時，明确将數學歸納法列為其中一個關鍵公理（或由其他公理導出的基本原理），并清晰闡述了其原理和應用。
《純數學教程》(A Course of Pure Mathematics)： G.H. 哈代的經典教材。在該書中，哈代在讨論序列、級數和數論基礎時，詳細介紹了數學歸納法作為一種核心證明技巧，并通過典型例題展示了其應用。

網絡擴展解釋

數學歸納法是一種基于自然數公理體系的數學證明方法，用于證明與自然數相關的命題對所有自然數都成立。其核心思想是通過遞推邏輯建立命題的普遍性，包含兩個關鍵步驟：

一、基本步驟

基例驗證（Base Case）
驗證命題在初始值（通常為 ( n=1 ) 或 ( n=0 )）時成立。
例：證明 ( 1+2+cdots+n = frac{n(n+1)}{2} ) 時，先驗證 ( n=1 ) 時等式成立。
歸納假設與遞推（Inductive Step）
- 假設：假設當 ( n=k ) 時命題成立（稱為歸納假設）。
- 證明：基于假設，推導 ( n=k+1 ) 時命題也成立。
  例：假設 ( 1+2+cdots+k = frac{k(k+1)}{2} )，則 ( n=k+1 ) 時，左邊為 ( frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2} )，與右邊形式一緻。

二、變體形式

強歸納法（第二數學歸納法）
歸納假設改為“命題對所有 ( n leq k ) 成立”，再證 ( n=k+1 ) 時成立。適用于遞歸定義的數列（如斐波那契數列性質證明）。
多基例歸納
當命題的遞推依賴多個前項時，需驗證多個初始值。例如，證明涉及 ( n=k ) 和 ( n=k-1 ) 的命題時，需驗證 ( n=1 ) 和 ( n=2 ) 均成立。

三、注意事項

適用範圍：僅適用于自然數相關的命題（如數列、整數性質）。
邏輯基礎：依賴自然數的良序性公理（非空自然數集必有最小元），非循環論證。
常見誤區：忽略基例或歸納步驟不嚴謹，例如未驗證初始值直接假設 ( n=k ) 成立。

四、應用場景

恒等式證明：如求和公式 ( sum_{i=1}^n i = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )。
算法正确性：遞歸算法或循環不變式的驗證。
組合數學：圖論、排列組合中的遞推關系證明。

數學歸納法通過“有限步推導無限”的思維模式，成為數學證明中不可或缺的工具。其嚴謹性依賴于自然數公理體系，使用時需嚴格遵循步驟，避免邏輯漏洞。