数学归纳法英文解释翻译、数学归纳法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 mathematical induction

分词翻译：

数学的英语翻译：

math; mathematics
【机】 mathematics

归纳法的英语翻译：

induction
【计】 induction; method of induction
【经】 inductive method

专业解析

数学归纳法 (Mathematical Induction) 是一种用于证明与自然数（正整数）相关的命题或性质 $P(n)$ 对所有自然数 $n$ 都成立的严格数学证明方法。其核心思想是通过有限的两步来达成对无限多个情况的证明。

汉英对照解释：

基础步骤 (Base Case / Basis Step)：
- 中文：证明当 $n$ 取初始值（通常是最小的自然数，如 $n=1$ 或 $n=0$）时，命题 $P(n)$ 成立。即验证 $P(1)$（或 $P(0)$）为真。
- 英文： Prove that the statement $P(n)$ holds for the initial value of $n$ (usually the smallest natural number, like $n=1$ or $n=0$). That is, verify that $P(1)$ (or $P(0)$) is true.
归纳步骤 (Inductive Step)：
- 中文：假设命题 $P(k)$ 对某个固定的自然数 $k$（$k$ 大于或等于基础步骤中的初始值）成立（这个假设称为归纳假设），然后基于此假设推导出命题 $P(k+1)$ 也必然成立。
- 英文： Assume that $P(k)$ is true for somefixed natural number $k$ (where $k$ is greater than or equal to the initial value in the base case). This assumption is called theinductive hypothesis. Then, using this hypothesis, prove that $P(k+1)$ must also be true.

数学表达：数学归纳法的原理可以形式化表述为： $$ begin{align} &text{若 } P(1) text{ 为真，且} &forall k in mathbb{N}, , P(k) to P(k+1) text{ 为真，} &text{则 } forall n in mathbb{N}, , P(n) text{ 为真。} end{align} $$

核心逻辑与类比：

基础步骤如同验证多米诺骨牌的第一块会倒下。
归纳步骤如同证明：只要任意一块多米诺骨牌（第 $k$ 块）倒下，它必然会导致紧挨着的下一块骨牌（第 $k+1$ 块）也倒下。
结合基础步骤（第一块倒下）和归纳步骤（前一块倒导致后一块倒），即可得出结论：所有的多米诺骨牌（所有自然数 $n$ 对应的命题 $P(n)$）都会倒下（成立）。

应用范围：数学归纳法广泛应用于证明涉及自然数的恒等式、不等式、数论定理、组合恒等式、算法正确性（如循环不变式）等。例如，证明前 $n$ 个自然数之和公式 $sum_{i=1}^{n} i = frac{n(n+1)}{2}$，或者证明 $2^n > n$ 对于所有 $n > 4$ 成立等。

权威性参考：

《数学原理》(Principia Mathematica)：由阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德和伯特兰·罗素合著的里程碑式著作，虽然其处理逻辑和集合论基础的方式非常复杂，但其中系统性地运用并形式化了数学归纳原理作为证明自然数性质的基础。
《什么是数学》(What is Mathematics?)：理查德·柯朗和赫伯特·罗宾斯所著的经典数学科普与教材。该书在介绍自然数公理系统（皮亚诺公理）时，明确将数学归纳法列为其中一个关键公理（或由其他公理导出的基本原理），并清晰阐述了其原理和应用。
《纯数学教程》(A Course of Pure Mathematics)： G.H. 哈代的经典教材。在该书中，哈代在讨论序列、级数和数论基础时，详细介绍了数学归纳法作为一种核心证明技巧，并通过典型例题展示了其应用。

网络扩展解释

数学归纳法是一种基于自然数公理体系的数学证明方法，用于证明与自然数相关的命题对所有自然数都成立。其核心思想是通过递推逻辑建立命题的普遍性，包含两个关键步骤：

一、基本步骤

基例验证（Base Case）
验证命题在初始值（通常为 ( n=1 ) 或 ( n=0 )）时成立。
例：证明 ( 1+2+cdots+n = frac{n(n+1)}{2} ) 时，先验证 ( n=1 ) 时等式成立。
归纳假设与递推（Inductive Step）
- 假设：假设当 ( n=k ) 时命题成立（称为归纳假设）。
- 证明：基于假设，推导 ( n=k+1 ) 时命题也成立。
  例：假设 ( 1+2+cdots+k = frac{k(k+1)}{2} )，则 ( n=k+1 ) 时，左边为 ( frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2} )，与右边形式一致。

二、变体形式

强归纳法（第二数学归纳法）
归纳假设改为“命题对所有 ( n leq k ) 成立”，再证 ( n=k+1 ) 时成立。适用于递归定义的数列（如斐波那契数列性质证明）。
多基例归纳
当命题的递推依赖多个前项时，需验证多个初始值。例如，证明涉及 ( n=k ) 和 ( n=k-1 ) 的命题时，需验证 ( n=1 ) 和 ( n=2 ) 均成立。

三、注意事项

适用范围：仅适用于自然数相关的命题（如数列、整数性质）。
逻辑基础：依赖自然数的良序性公理（非空自然数集必有最小元），非循环论证。
常见误区：忽略基例或归纳步骤不严谨，例如未验证初始值直接假设 ( n=k ) 成立。

四、应用场景

恒等式证明：如求和公式 ( sum_{i=1}^n i = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )。
算法正确性：递归算法或循环不变式的验证。
组合数学：图论、排列组合中的递推关系证明。

数学归纳法通过“有限步推导无限”的思维模式，成为数学证明中不可或缺的工具。其严谨性依赖于自然数公理体系，使用时需严格遵循步骤，避免逻辑漏洞。