數值穩定性英文解釋翻譯、數值穩定性的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 numerical stability

分詞翻譯：

數值的英語翻譯：

numerical value
【計】 value of number
【經】 numerical value; quantitative value

穩定的英語翻譯：

level off; stabilize
【醫】 stabilization
【經】 stability; stabilization

專業解析

數值穩定性（Numerical Stability）是計算數學和科學計算中的核心概念，指算法在有限精度計算（如浮點運算）過程中對微小誤差的敏感程度。其英文對應術語為Numerical Stability。

核心定義

當算法具有數值穩定性時，意味着即使初始數據存在微小擾動（如舍入誤差），計算結果也不會出現災難性偏差。反之，不穩定的算法會放大誤差，導緻輸出結果完全失真。穩定性關注的是誤差傳播的可控性，而非絕對精度。

數學原理與誤差傳播

數值不穩定的根源常在于問題本身的條件數（Condition Number）和算法設計：

條件數：衡量函數對輸入變化的敏感度。高條件數問題（如病态矩陣求逆）本身易放大誤差。
算法設計：例如直接求解線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 時，若矩陣 ( A ) 接近奇異，高斯消去法可能導緻巨大誤差；而采用矩陣分解（如SVD）可提升穩定性。

穩定性分類

前向穩定性（Forward Stability）
算法輸出接近精确解，誤差與輸入誤差同量級。

後向穩定性（Backward Stability）
算法輸出等價于對某個微小擾動後的輸入問題的精确解。這是更實用的标準，例如Householder變換解線性方程組即滿足後向穩定。

典型案例對比

算法	穩定性表現	應用場景
标準高斯消去法	對病态矩陣不穩定	小規模稠密矩陣
QR分解	高穩定性（尤其適合最小二乘問題）	最小二乘拟合
梯度下降	學習率過高時不穩定	機器學習優化

工程應用意義

在工程實踐中，數值穩定性直接影響可靠性：

金融計算：利率模型中的不穩定算法可導緻衍生品定價偏差。
控制系統：濾波器設計中的數值發散可能引發硬件震蕩。
深度學習：激活函數（如ReLU）的選擇部分源于梯度計算的穩定性需求。

權威參考文獻

NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 3.1 on Numerical Stability
https://dlmf.nist.gov/3.1

Higham, N.J., Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM (2002)
Golub, G.H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, Johns Hopkins University Press (2013)

（注：鍊接為相關領域權威出版物官網，内容需結合具體章節查閱）

網絡擴展解釋

數值穩定性是數值分析中的核心概念，指算法在計算過程中對誤差（如舍入誤差、截斷誤差）的敏感程度，以及在有限精度下保持結果可靠性的能力。以下是關鍵要點：

1. 核心定義

數值穩定性關注算法在不同輸入下能否有效控制誤差傳播，避免結果嚴重偏離理論值。根據，其具體表現為：

前向穩定性：算法輸出與理論解的誤差（即前向誤差Δy）較小。
後向穩定性：存在輸入擾動Δx，使得算法輸出是擾動後輸入的精确解（即後向誤差Δx較小）。
混合穩定性：同時要求前向誤差和後向誤差較小，綜合衡量算法的可靠性。

2. 誤差來源與條件數

誤差類型：包括舍入誤差（計算機精度限制）、截斷誤差（近似方法引入）和數據誤差（輸入不精确）。
條件數的作用：問題本身的敏感性由條件數決定。條件數越大，輸入微小擾動對結果影響越顯著。數值穩定的算法需保證前向誤差 ≤ 條件數 × 後向誤差。

3. 穩定性的重要性

數值不穩定的算法可能導緻誤差累積，例如矩陣運算中的“大數吃小數”現象。
示例：計算方差時，直接使用公式$frac{1}{n}sum x_i - (frac{1}{n}sum x_i)$可能在數值上不穩定，而采用遞推公式可避免大數相減的誤差。

4. 應用場景

線性代數：矩陣分解（如QR分解比直接求逆更穩定）。
疊代算法：梯度下降中步長的選擇需平衡收斂速度與舍入誤差。
微分方程求解：隱式方法（如後向歐拉法）通常比顯式方法更穩定。

5. 如何判斷穩定性

後向穩定性優先：後向穩定算法總能保證輸出是某個鄰近輸入的精确解，因此普遍更可靠。
混合穩定性驗證：結合前向和後向誤差分析，若兩者均受控且與問題條件數匹配，則算法穩定。

如需進一步了解具體算法（如矩陣運算或優化方法）的穩定性分析，可參考數值分析教材或專業文獻。