数值稳定性英文解释翻译、数值稳定性的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 numerical stability

分词翻译：

数值的英语翻译：

numerical value
【计】 value of number
【经】 numerical value; quantitative value

稳定的英语翻译：

level off; stabilize
【医】 stabilization
【经】 stability; stabilization

专业解析

数值稳定性（Numerical Stability）是计算数学和科学计算中的核心概念，指算法在有限精度计算（如浮点运算）过程中对微小误差的敏感程度。其英文对应术语为Numerical Stability。

核心定义

当算法具有数值稳定性时，意味着即使初始数据存在微小扰动（如舍入误差），计算结果也不会出现灾难性偏差。反之，不稳定的算法会放大误差，导致输出结果完全失真。稳定性关注的是误差传播的可控性，而非绝对精度。

数学原理与误差传播

数值不稳定的根源常在于问题本身的条件数（Condition Number）和算法设计：

条件数：衡量函数对输入变化的敏感度。高条件数问题（如病态矩阵求逆）本身易放大误差。
算法设计：例如直接求解线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 时，若矩阵 ( A ) 接近奇异，高斯消去法可能导致巨大误差；而采用矩阵分解（如SVD）可提升稳定性。

稳定性分类

前向稳定性（Forward Stability）
算法输出接近精确解，误差与输入误差同量级。

后向稳定性（Backward Stability）
算法输出等价于对某个微小扰动后的输入问题的精确解。这是更实用的标准，例如Householder变换解线性方程组即满足后向稳定。

典型案例对比

算法	稳定性表现	应用场景
标准高斯消去法	对病态矩阵不稳定	小规模稠密矩阵
QR分解	高稳定性（尤其适合最小二乘问题）	最小二乘拟合
梯度下降	学习率过高时不稳定	机器学习优化

工程应用意义

在工程实践中，数值稳定性直接影响可靠性：

金融计算：利率模型中的不稳定算法可导致衍生品定价偏差。
控制系统：滤波器设计中的数值发散可能引发硬件震荡。
深度学习：激活函数（如ReLU）的选择部分源于梯度计算的稳定性需求。

权威参考文献

NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 3.1 on Numerical Stability
https://dlmf.nist.gov/3.1

Higham, N.J., Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM (2002)
Golub, G.H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, Johns Hopkins University Press (2013)

（注：链接为相关领域权威出版物官网，内容需结合具体章节查阅）

网络扩展解释

数值稳定性是数值分析中的核心概念，指算法在计算过程中对误差（如舍入误差、截断误差）的敏感程度，以及在有限精度下保持结果可靠性的能力。以下是关键要点：

1. 核心定义

数值稳定性关注算法在不同输入下能否有效控制误差传播，避免结果严重偏离理论值。根据，其具体表现为：

前向稳定性：算法输出与理论解的误差（即前向误差Δy）较小。
后向稳定性：存在输入扰动Δx，使得算法输出是扰动后输入的精确解（即后向误差Δx较小）。
混合稳定性：同时要求前向误差和后向误差较小，综合衡量算法的可靠性。

2. 误差来源与条件数

误差类型：包括舍入误差（计算机精度限制）、截断误差（近似方法引入）和数据误差（输入不精确）。
条件数的作用：问题本身的敏感性由条件数决定。条件数越大，输入微小扰动对结果影响越显著。数值稳定的算法需保证前向误差 ≤ 条件数 × 后向误差。

3. 稳定性的重要性

数值不稳定的算法可能导致误差累积，例如矩阵运算中的“大数吃小数”现象。
示例：计算方差时，直接使用公式$frac{1}{n}sum x_i - (frac{1}{n}sum x_i)$可能在数值上不稳定，而采用递推公式可避免大数相减的误差。

4. 应用场景

线性代数：矩阵分解（如QR分解比直接求逆更稳定）。
迭代算法：梯度下降中步长的选择需平衡收敛速度与舍入误差。
微分方程求解：隐式方法（如后向欧拉法）通常比显式方法更稳定。

5. 如何判断稳定性

后向稳定性优先：后向稳定算法总能保证输出是某个邻近输入的精确解，因此普遍更可靠。
混合稳定性验证：结合前向和后向误差分析，若两者均受控且与问题条件数匹配，则算法稳定。

如需进一步了解具体算法（如矩阵运算或优化方法）的稳定性分析，可参考数值分析教材或专业文献。