雙線性公式英文解釋翻譯、雙線性公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bilinear formula

分詞翻譯：

雙線的英語翻譯：

crewel
【電】 twin line; twin wire

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

雙線性公式（Bilinear Form）是數學中描述兩個向量之間特定運算關系的重要概念。其核心特征在于運算對每個輸入變量都呈線性性質。以下是詳細解釋：

一、漢英術語對照

中文：雙線性公式 / 雙線性形式
英文：Bilinear Form

二、數學定義

設 ( V ) 是域 ( F ) 上的向量空間，雙線性形式是一個映射：

[ B: V times V to F ]

需滿足以下性質（( forall u,v,w in V, , forall a in F ))：

對第一個變量線性：
[ B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) ]

[ B(a cdot u, v) = a cdot B(u, v) ]

對第二個變量線性：
[ B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) ]

[ B(u, a cdot v) = a cdot B(u, v) ]

三、典型示例

點積（歐幾裡得空間）：
[ B(mathbf{x}, mathbf{y}) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + cdots + x_n y_n ]

矩陣雙線性形式：
給定矩陣 ( A )，定義：

[ B(mathbf{x}, mathbf{y}) = mathbf{x}^T A mathbf{y} ]

其中 ( mathbf{x}, mathbf{y} ) 為列向量，( A ) 的對稱性決定形式是否對稱。

四、應用領域

微分幾何：黎曼度量是流形上的雙線性形式，用于定義曲率和距離。
量子力學：希爾伯特空間的内積是雙線性形式的推廣（需滿足共轭對稱性）。
優化理論：二次規劃的目标函數常包含雙線性項。

五、權威參考來源

《線性代數導論》（Gilbert Strang）：第7章詳細讨論雙線性形式與二次型的關系（MIT教材）。
Wolfram MathWorld：詞條"Bilinear Form"提供嚴格定義及性質推導（訪問鍊接：mathworld.wolfram.com/BilinearForm.html）。
Encyclopedia of Mathematics：由歐洲數學學會維護，涵蓋雙線性形式的抽象代數推廣（encyclopediaofmath.org/wiki/Bilinear_form）。

六、重要性質

對稱性：若 ( B(u,v) = B(v,u) )，則稱為對稱雙線性形式，關聯二次型 ( Q(u) = B(u,u) )。
非退化性：若 ( B(u,v)=0 , forall v ) 僅當 ( u=0 ) 時成立，則該形式非退化，是内積空間的基礎條件。

注：雙線性形式與張量代數密切相關，在物理學中常以協變/逆變張量形式出現，廣義相對論的度規張量即為一例。

網絡擴展解釋

雙線性公式在不同學科中有不同含義，以下是核心解釋及典型應用場景：

一、數學中的雙線性函數/形式

定義
雙線性公式指涉及兩個變量的函數，每個變量單獨滿足線性關系。設函數( f: V times W rightarrow K )（( V, W )為向量空間，( K )為數域），滿足：
- 對第一個變量線性：( f(ax + by, w) = a f(x, w) + b f(y, w) )
- 對第二個變量線性：( f(v, cx + dy) = c f(v, x) + d f(v, y) ) 典型表達式為( f(x, y) = x^T A y )，其中( A )為矩陣，( x, y )為向量。
示例
内積運算（如點積）是雙線性函數的典型例子，如( f(mathbf{u}, mathbf{v}) = mathbf{u} cdot mathbf{v} )。

二、信號處理中的雙線性變換法

核心原理
通過兩次線性變換處理信號，常用矩陣乘法實現。設輸入信號為( x )，經矩陣( A )變換得中間信號( y = Ax )，再經矩陣( B )變換得輸出( z = By )，合并為( z = (BA)x )。
應用場景
- 濾波器設計：調整信號頻率特性，如低通濾波。
- 離散化處理：将連續系統轉換為離散系統（如Tustin變換）。

三、金融分析中的雙線性指标

在股票技術分析中，雙線性變換法用于生成交易信號。例如：

公式示例：
( text{EXPMA}(CLOSE, N1, N2) = text{EMA}(CLOSE, N1) - text{EMA}(CLOSE, N2) )
通過兩次指數移動平均（EMA）的差值過濾市場噪音。

四、總結

數學本質：雙線性公式強調兩個變量的獨立線性性，常見于代數、幾何。
工程應用：信號處理中的變換方法、金融指标計算等。
關鍵區别：數學定義關注抽象線性性，應用領域則側重具體變換步驟或計算規則。