双线性公式英文解释翻译、双线性公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bilinear formula

分词翻译：

双线的英语翻译：

crewel
【电】 twin line; twin wire

公式的英语翻译：

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

专业解析

双线性公式（Bilinear Form）是数学中描述两个向量之间特定运算关系的重要概念。其核心特征在于运算对每个输入变量都呈线性性质。以下是详细解释：

一、汉英术语对照

中文：双线性公式 / 双线性形式
英文：Bilinear Form

二、数学定义

设 ( V ) 是域 ( F ) 上的向量空间，双线性形式是一个映射：

[ B: V times V to F ]

需满足以下性质（( forall u,v,w in V, , forall a in F ))：

对第一个变量线性：
[ B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) ]

[ B(a cdot u, v) = a cdot B(u, v) ]

对第二个变量线性：
[ B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) ]

[ B(u, a cdot v) = a cdot B(u, v) ]

三、典型示例

点积（欧几里得空间）：
[ B(mathbf{x}, mathbf{y}) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + cdots + x_n y_n ]

矩阵双线性形式：
给定矩阵 ( A )，定义：

[ B(mathbf{x}, mathbf{y}) = mathbf{x}^T A mathbf{y} ]

其中 ( mathbf{x}, mathbf{y} ) 为列向量，( A ) 的对称性决定形式是否对称。

四、应用领域

微分几何：黎曼度量是流形上的双线性形式，用于定义曲率和距离。
量子力学：希尔伯特空间的内积是双线性形式的推广（需满足共轭对称性）。
优化理论：二次规划的目标函数常包含双线性项。

五、权威参考来源

《线性代数导论》（Gilbert Strang）：第7章详细讨论双线性形式与二次型的关系（MIT教材）。
Wolfram MathWorld：词条"Bilinear Form"提供严格定义及性质推导（访问链接：mathworld.wolfram.com/BilinearForm.html）。
Encyclopedia of Mathematics：由欧洲数学学会维护，涵盖双线性形式的抽象代数推广（encyclopediaofmath.org/wiki/Bilinear_form）。

六、重要性质

对称性：若 ( B(u,v) = B(v,u) )，则称为对称双线性形式，关联二次型 ( Q(u) = B(u,u) )。
非退化性：若 ( B(u,v)=0 , forall v ) 仅当 ( u=0 ) 时成立，则该形式非退化，是内积空间的基础条件。

注：双线性形式与张量代数密切相关，在物理学中常以协变/逆变张量形式出现，广义相对论的度规张量即为一例。

网络扩展解释

双线性公式在不同学科中有不同含义，以下是核心解释及典型应用场景：

一、数学中的双线性函数/形式

定义
双线性公式指涉及两个变量的函数，每个变量单独满足线性关系。设函数( f: V times W rightarrow K )（( V, W )为向量空间，( K )为数域），满足：
- 对第一个变量线性：( f(ax + by, w) = a f(x, w) + b f(y, w) )
- 对第二个变量线性：( f(v, cx + dy) = c f(v, x) + d f(v, y) ) 典型表达式为( f(x, y) = x^T A y )，其中( A )为矩阵，( x, y )为向量。
示例
内积运算（如点积）是双线性函数的典型例子，如( f(mathbf{u}, mathbf{v}) = mathbf{u} cdot mathbf{v} )。

二、信号处理中的双线性变换法

核心原理
通过两次线性变换处理信号，常用矩阵乘法实现。设输入信号为( x )，经矩阵( A )变换得中间信号( y = Ax )，再经矩阵( B )变换得输出( z = By )，合并为( z = (BA)x )。
应用场景
- 滤波器设计：调整信号频率特性，如低通滤波。
- 离散化处理：将连续系统转换为离散系统（如Tustin变换）。

三、金融分析中的双线性指标

在股票技术分析中，双线性变换法用于生成交易信号。例如：

公式示例：
( text{EXPMA}(CLOSE, N1, N2) = text{EMA}(CLOSE, N1) - text{EMA}(CLOSE, N2) )
通过两次指数移动平均（EMA）的差值过滤市场噪音。

四、总结

数学本质：双线性公式强调两个变量的独立线性性，常见于代数、几何。
工程应用：信号处理中的变换方法、金融指标计算等。
关键区别：数学定义关注抽象线性性，应用领域则侧重具体变换步骤或计算规则。