第一类斯特林数英文解释翻译、第一类斯特林数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 first kind Stirling numbers

分词翻译：

第一的英语翻译：

first; firstly; primary
【医】 arch-; arche-; eka-; prot-; proto-
【经】 no 1

类的英语翻译：

be similar to; genus; kind; species
【医】 group; para-; race

斯的英语翻译：

this
【化】 geepound

特的英语翻译：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

林的英语翻译：

circles; forest; woods

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

第一类斯特林数是组合数学中用于描述排列轮换结构的特殊数列，分为无符号（Stirling numbers of the first kind）和带符号（signed）两种形式。其核心意义可通过以下三方面阐释：

数学定义与符号表示
无符号第一类斯特林数记为$s(n,k)$，表示将$n$个不同元素划分为$k$个非空循环排列的方式数。例如，$s(4,2)=11$对应4个元素的11种两循环划分方式。带符号版本则满足递推关系$s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)$，常用于多项式展开。
组合意义与应用场景
该数列与排列的循环分解直接关联：若一个排列可分解为$k$个不相交循环，则其对应的计数即为$s(n,k)$。这一性质在群论、密码学置换分析中具有应用价值。例如，计算5个元素的排列中有多少种包含3个循环，答案即为$s(5,3)=35$。
生成函数与特殊公式
其指数生成函数可表示为： $$ sum_{k=0}^n s(n,k)x^k = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$ 这一生成关系在多项式系数研究中扮演重要角色，被收录于《具体数学》（Concrete Mathematics）等权威教材。

参考文献

Wolfram MathWorld: Stirling Numbers of the First Kind

Encyclopedia of Mathematics: Stirling numbers

Graham, R. L. et al. (1994). Concrete Mathematics, 2nd ed., Addison-Wesley

网络扩展解释

第一类斯特林数是组合数学中的重要概念，用于描述元素排列为环结构的方案数。以下是详细解释：

1.定义

第一类斯特林数（无符号形式）记为 $begin{bmatrix}nmend{bmatrix}$ 或 $s(n,m)$，表示将 $n$ 个不同元素划分为 $m$ 个非空环排列的方案数。

环排列：例如元素 ${1,2,3}$ 的环排列 $(1,2,3)$ 和 $(2,3,1)$ 被视为相同，因为可通过旋转得到。

2.递推公式

递推关系是计算第一类斯特林数的核心方法：
$$ begin{bmatrix}nmend{bmatrix} = begin{bmatrix}n-1m-1end{bmatrix} + (n-1) cdot begin{bmatrix}n-1mend{bmatrix} $$
组合解释：

$begin{bmatrix}n-1m-1end{bmatrix}$：第 $n$ 个元素单独形成新环。
$(n-1) cdot begin{bmatrix}n-1mend{bmatrix}$：将第 $n$ 个元素插入已有的 $m$ 个环中，每个环有 $(n-1)$ 个插入位置。

3.重要性质

行和性质：$sum_{m=0}^n begin{bmatrix}nmend{bmatrix} = n!$，即所有环排列方案数等于全排列数。
上升幂展开：$x^{overline{n}} = sum_{m=0}^n begin{bmatrix}nmend{bmatrix} x^m$，其中 $x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1)$。
边界条件：$begin{bmatrix}00end{bmatrix} = 1$，$begin{bmatrix}n0end{bmatrix} = 0$（$n>0$），$begin{bmatrix}nnend{bmatrix} = 1$。

4.应用场景

组合计数：解决包含循环排列的问题，如轮班安排、圆桌座位分配。
多项式展开：将上升幂转化为普通幂形式。
置换分解：置换群中分解为循环置换的方案数。

示例

计算 $begin{bmatrix}31end{bmatrix}$：
根据递推公式，$begin{bmatrix}31end{bmatrix} = (3-1)! = 2! = 2$，即 ${1,2,3}$ 的环排列有两种等价形式。