第一類斯特林數英文解釋翻譯、第一類斯特林數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 first kind Stirling numbers

分詞翻譯：

第一的英語翻譯：

first; firstly; primary
【醫】 arch-; arche-; eka-; prot-; proto-
【經】 no 1

類的英語翻譯：

be similar to; genus; kind; species
【醫】 group; para-; race

斯的英語翻譯：

this
【化】 geepound

特的英語翻譯：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

林的英語翻譯：

circles; forest; woods

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

第一類斯特林數是組合數學中用于描述排列輪換結構的特殊數列，分為無符號（Stirling numbers of the first kind）和帶符號（signed）兩種形式。其核心意義可通過以下三方面闡釋：

數學定義與符號表示
無符號第一類斯特林數記為$s(n,k)$，表示将$n$個不同元素劃分為$k$個非空循環排列的方式數。例如，$s(4,2)=11$對應4個元素的11種兩循環劃分方式。帶符號版本則滿足遞推關系$s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)$，常用于多項式展開。
組合意義與應用場景
該數列與排列的循環分解直接關聯：若一個排列可分解為$k$個不相交循環，則其對應的計數即為$s(n,k)$。這一性質在群論、密碼學置換分析中具有應用價值。例如，計算5個元素的排列中有多少種包含3個循環，答案即為$s(5,3)=35$。
生成函數與特殊公式
其指數生成函數可表示為： $$ sum_{k=0}^n s(n,k)x^k = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$ 這一生成關系在多項式系數研究中扮演重要角色，被收錄于《具體數學》（Concrete Mathematics）等權威教材。

參考文獻

Wolfram MathWorld: Stirling Numbers of the First Kind

Encyclopedia of Mathematics: Stirling numbers

Graham, R. L. et al. (1994). Concrete Mathematics, 2nd ed., Addison-Wesley

網絡擴展解釋

第一類斯特林數是組合數學中的重要概念，用于描述元素排列為環結構的方案數。以下是詳細解釋：

1.定義

第一類斯特林數（無符號形式）記為 $begin{bmatrix}nmend{bmatrix}$ 或 $s(n,m)$，表示将 $n$ 個不同元素劃分為 $m$ 個非空環排列的方案數。

環排列：例如元素 ${1,2,3}$ 的環排列 $(1,2,3)$ 和 $(2,3,1)$ 被視為相同，因為可通過旋轉得到。

2.遞推公式

遞推關系是計算第一類斯特林數的核心方法：
$$ begin{bmatrix}nmend{bmatrix} = begin{bmatrix}n-1m-1end{bmatrix} + (n-1) cdot begin{bmatrix}n-1mend{bmatrix} $$
組合解釋：

$begin{bmatrix}n-1m-1end{bmatrix}$：第 $n$ 個元素單獨形成新環。
$(n-1) cdot begin{bmatrix}n-1mend{bmatrix}$：将第 $n$ 個元素插入已有的 $m$ 個環中，每個環有 $(n-1)$ 個插入位置。

3.重要性質

行和性質：$sum_{m=0}^n begin{bmatrix}nmend{bmatrix} = n!$，即所有環排列方案數等于全排列數。
上升幂展開：$x^{overline{n}} = sum_{m=0}^n begin{bmatrix}nmend{bmatrix} x^m$，其中 $x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1)$。
邊界條件：$begin{bmatrix}00end{bmatrix} = 1$，$begin{bmatrix}n0end{bmatrix} = 0$（$n>0$），$begin{bmatrix}nnend{bmatrix} = 1$。

4.應用場景

組合計數：解決包含循環排列的問題，如輪班安排、圓桌座位分配。
多項式展開：将上升幂轉化為普通幂形式。
置換分解：置換群中分解為循環置換的方案數。

示例

計算 $begin{bmatrix}31end{bmatrix}$：
根據遞推公式，$begin{bmatrix}31end{bmatrix} = (3-1)! = 2! = 2$，即 ${1,2,3}$ 的環排列有兩種等價形式。