英语翻译：

【计】 wave equation
【化】 wave equation

分词翻译：

波的英语翻译：

wave
【化】 wave
【医】 deflection; flumen; flumina; kymo-; wave

动的英语翻译：

act; move; stir; use
【医】 kino-

方程的英语翻译：

equation

专业解析

波动方程（Wave Equation）是描述波动现象传播规律的二阶线性偏微分方程，广泛应用于物理学和工程学领域。其核心数学形式为：

$$ frac{partial u}{partial t} = c abla u $$

其中：

• $u$ 表示位移或物理量（如声压、电场强度）；
• $c$ 为波速，由介质属性决定；
• $ abla$ 是拉普拉斯算子。

汉英术语对照与物理意义

1. 一维波动方程（1D Wave Equation）

   形式为 $frac{partial u}{partial t} = c frac{partial u}{partial x}$，常用于描述琴弦振动或声波在管道中的传播。

2. 三维扩展（3D Extension）

   方程推广为 $frac{partial u}{partial t} = c left( frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} + frac{partial u}{partial z} right)$，适用于电磁波传播或地震波分析。

解法与应用领域

• 达朗贝尔解（D'Alembert's Solution）

  针对一维无界空间，解为 $u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$，体现波前向左右传播的特性。

• 分离变量法（Separation of Variables）

  用于求解有限区域内的驻波，如方形膜振动问题。

权威参考来源

1. 数学物理方法经典教材《Mathematical Methods for Physicists》（Arfken et al.）第15章详细推导了波动方程的边界条件。
2. 剑桥大学物理系公开课程指出，波动方程是麦克斯韦方程组在无源空间中的简化形式。

网络扩展解释

波动方程是描述波在介质或空间中传播规律的偏微分方程，其核心揭示了波动的时空演化关系。以下是关键要点：

---

一、数学形式

1. 一维波动方程
   $$frac{partial u}{partial t} = c frac{partial u}{partial x}$$

   • ( u(x,t) )：位移函数（如弦的横向位移）
   • ( c )：波速（由介质属性决定）
   • 描述弦振动、声波在管道中的传播等一维问题。

2. 三维波动方程
   $$frac{partial u}{partial t} = c abla u$$

   • ( abla )：拉普拉斯算子，对应空间二阶导数
   • 适用于电磁波、水波等三维传播场景。

---

二、物理意义

• 时空关联性：方程将时间二阶导数与空间二阶导数通过波速 ( c ) 关联，表明波动是时空共同演化的结果。
• 能量传播：波速 ( c ) 决定了扰动在介质中的传递速率，例如声速约343m/s（空气中），光速约3×10⁸m/s（真空中）。

---

三、解的典型形式

1. 行波解：( u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) )
   表示向左右传播的波形（如达朗贝尔解）。
2. 驻波解：( u(x,t) = Asin(kx)cos(omega t) )
   节点位置固定，常见于两端固定的弦振动。
3. 球面波解：三维波动方程的解随距离衰减（如声波扩散）。

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四、应用领域

1. 声学：乐器振动、噪声传播建模
2. 电磁学：光波、无线电波传播分析
3. 地震学：地震波在地球内部的传播预测
4. 工程学：桥梁、建筑结构的振动分析

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波动方程作为经典物理的核心方程之一，其线性形式适用于小振幅波动，而大振幅或复杂介质中需引入非线性项（如KdV方程）。理解该方程是研究波动现象的基础工具。

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