英語翻譯：

【計】 wave equation
【化】 wave equation

分詞翻譯：

波的英語翻譯：

wave
【化】 wave
【醫】 deflection; flumen; flumina; kymo-; wave

動的英語翻譯：

act; move; stir; use
【醫】 kino-

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

波動方程（Wave Equation）是描述波動現象傳播規律的二階線性偏微分方程，廣泛應用于物理學和工程學領域。其核心數學形式為：

$$ frac{partial u}{partial t} = c abla u $$

其中：

• $u$ 表示位移或物理量（如聲壓、電場強度）；
• $c$ 為波速，由介質屬性決定；
• $ abla$ 是拉普拉斯算子。

漢英術語對照與物理意義

1. 一維波動方程（1D Wave Equation）

   形式為 $frac{partial u}{partial t} = c frac{partial u}{partial x}$，常用于描述琴弦振動或聲波在管道中的傳播。

2. 三維擴展（3D Extension）

   方程推廣為 $frac{partial u}{partial t} = c left( frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} + frac{partial u}{partial z} right)$，適用于電磁波傳播或地震波分析。

解法與應用領域

• 達朗貝爾解（D'Alembert's Solution）

  針對一維無界空間，解為 $u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$，體現波前向左右傳播的特性。

• 分離變量法（Separation of Variables）

  用于求解有限區域内的駐波，如方形膜振動問題。

權威參考來源

1. 數學物理方法經典教材《Mathematical Methods for Physicists》（Arfken et al.）第15章詳細推導了波動方程的邊界條件。
2. 劍橋大學物理系公開課程指出，波動方程是麥克斯韋方程組在無源空間中的簡化形式。

網絡擴展解釋

波動方程是描述波在介質或空間中傳播規律的偏微分方程，其核心揭示了波動的時空演化關系。以下是關鍵要點：

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一、數學形式

1. 一維波動方程
   $$frac{partial u}{partial t} = c frac{partial u}{partial x}$$

   • ( u(x,t) )：位移函數（如弦的橫向位移）
   • ( c )：波速（由介質屬性決定）
   • 描述弦振動、聲波在管道中的傳播等一維問題。

2. 三維波動方程
   $$frac{partial u}{partial t} = c abla u$$

   • ( abla )：拉普拉斯算子，對應空間二階導數
   • 適用于電磁波、水波等三維傳播場景。

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二、物理意義

• 時空關聯性：方程将時間二階導數與空間二階導數通過波速 ( c ) 關聯，表明波動是時空共同演化的結果。
• 能量傳播：波速 ( c ) 決定了擾動在介質中的傳遞速率，例如聲速約343m/s（空氣中），光速約3×10⁸m/s（真空中）。

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三、解的典型形式

1. 行波解：( u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) )
   表示向左右傳播的波形（如達朗貝爾解）。
2. 駐波解：( u(x,t) = Asin(kx)cos(omega t) )
   節點位置固定，常見于兩端固定的弦振動。
3. 球面波解：三維波動方程的解隨距離衰減（如聲波擴散）。

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四、應用領域

1. 聲學：樂器振動、噪聲傳播建模
2. 電磁學：光波、無線電波傳播分析
3. 地震學：地震波在地球内部的傳播預測
4. 工程學：橋梁、建築結構的振動分析

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波動方程作為經典物理的核心方程之一，其線性形式適用于小振幅波動，而大振幅或複雜介質中需引入非線性項（如KdV方程）。理解該方程是研究波動現象的基礎工具。

分類

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