几何惯性矩英文解释翻译、几何惯性矩的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 geometrical moment of inertia

分词翻译：

几何的英语翻译：

geometry; how many; how much

惯的英语翻译：

be used to; indulge; spoil

矩的英语翻译：

quadrature; rules; square
【医】 moment

专业解析

几何惯性矩（Geometric Moment of Inertia），在工程力学和材料力学领域，是指截面抵抗弯曲变形的能力的几何量度。它仅与截面的形状、尺寸及轴线的位置有关，与材料本身的物理性质无关。其英文对应术语通常为Area Moment of Inertia 或Second Moment of Area。

以下是其详细解释：

定义与物理意义：
- 几何惯性矩描述了一个平面图形（如梁的横截面）围绕某个特定轴（如中性轴）旋转时，其面积分布相对于该轴的离散程度。
- 数值越大，表示面积分布离该轴越远，截面抵抗围绕该轴弯曲变形的能力就越强。它是计算梁在弯曲载荷作用下产生的应力和挠度的关键参数。
数学表达：
- 对于一个平面图形，绕 x 轴的几何惯性矩（通常表示为 (Ix) 或 (I{xx})）定义为： $$ I_x = int_A ydA $$ 其中：
  - (A) 是图形的总面积。
  - (y) 是微面积 (dA) 到 x 轴的垂直距离。
  - 积分在整个面积 (A) 上进行。
- 同理，绕 y 轴的几何惯性矩（(Iy) 或 (I{yy})）定义为： $$ I_y = int_A xdA $$ 其中 (x) 是微面积 (dA) 到 y 轴的垂直距离。
关键特性：
- 几何属性：仅取决于截面的形状、尺寸和所选参考轴的位置，与材料的弹性模量、密度等物理属性无关。
- 量纲：长度的四次方（如 m⁴, mm⁴）。
- 平行轴定理：如果已知截面绕通过其形心（质心）的轴的惯性矩 (I_{c})，则计算该截面绕任何与之平行的轴的惯性矩 (I) 的公式为： $$ I = I_c + A d $$ 其中 (A) 是面积，(d) 是两个平行轴之间的距离。这个定理在工程计算中非常重要。
- 主轴：对于任何截面，都存在一对相互垂直的轴（称为主轴），绕这对轴的惯性矩一个达到最大值，另一个达到最小值（且惯性积为零）。绕主轴的惯性矩称为主惯性矩。
应用：
- 梁的弯曲应力计算：梁弯曲时横截面上的正应力 (sigma) 计算公式为： $$ sigma = frac{My}{I} $$ 其中 (M) 是弯矩，(y) 是所求应力点到中性轴的距离，(I) 是截面对中性轴的几何惯性矩。可见，(I) 越大，在相同弯矩下产生的弯曲应力越小。
- 梁的弯曲变形（挠度与转角）计算：梁的挠度与转角公式中也包含几何惯性矩 (I)。(I) 越大，梁抵抗弯曲变形的能力越强，在相同载荷下挠度和转角越小。
- 截面设计：工程师通过选择具有较大惯性矩的截面形状（如工字钢、箱型梁）来设计更轻、更经济的结构构件，使其能够承受更大的弯曲载荷。
与质量惯性矩的区别：
- 几何惯性矩（Area Moment of Inertia）描述的是面积的分布，用于计算弯曲问题。
- 质量惯性矩（Mass Moment of Inertia）描述的是质量的分布，用于计算物体绕轴旋转时的动力学问题（如角加速度）。两者名称相似但物理意义和量纲不同，需注意区分。

常见截面几何惯性矩公式示例：

矩形截面（宽 b，高 h，绕形心轴 x 轴）： $$ I_x = frac{bh}{12} $$
圆形截面（直径 d，绕形心轴）： $$ I = frac{pi d}{64} $$

参考资料：

MIT OpenCourseWare - Mechanics of Materials: 提供了关于梁弯曲、应力和惯性矩的详细讲解和推导。来源：MIT OpenCourseWare (可搜索相关课程资料如 "Bending of Beams" 或 "Moments of Inertia")。
Engineering Toolbox - Area Moment of Inertia: 提供了常见截面几何惯性矩的计算公式和简要说明。来源：The Engineering Toolbox。
Wikipedia - Second moment of area: 提供了该概念的详细定义、数学表达、性质和应用的综合概述。来源：Wikipedia。

网络扩展解释

几何惯性矩（又称截面惯性矩或面积二次矩）是材料力学和结构工程中的重要概念，用于描述物体截面对弯曲变形的抵抗能力。以下是详细解释：

定义
几何惯性矩是截面上各微面积与其到某轴距离平方乘积的积分，反映截面形状对弯曲刚度的贡献。其数学表达式为：
$$ I_x = int_A y , dA quad text{（对x轴的惯性矩）}
$$
其中，( y ) 是微面积 ( dA ) 到x轴的垂直距离。
物理意义
惯性矩越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。例如，工字梁的截面设计通过增大远离中性轴的材料分布来提升惯性矩，从而增强抗弯性能。
常见截面公式

矩形截面（宽( b )、高( h )）：
$$ I_x = frac{b h}{12} $$
圆形截面（半径( r )）：
$$ I_x = frac{pi r}{4} $$

应用场景

计算梁的弯曲应力（( sigma = frac{M y}{I} )）
分析结构稳定性（如柱体屈曲）
优化机械零件或建筑构件的截面形状

与转动惯量的区别
几何惯性矩基于面积分布，用于静力学分析；转动惯量基于质量分布，用于动力学中的旋转问题。

单位：国际单位为 ( text{m} ) 或 ( text{mm} )。
注意：计算时需明确参考轴，不同轴的惯性矩可通过平行轴定理转换。