幾何慣性矩英文解釋翻譯、幾何慣性矩的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 geometrical moment of inertia

分詞翻譯：

幾何的英語翻譯：

geometry; how many; how much

慣的英語翻譯：

be used to; indulge; spoil

矩的英語翻譯：

quadrature; rules; square
【醫】 moment

專業解析

幾何慣性矩（Geometric Moment of Inertia），在工程力學和材料力學領域，是指截面抵抗彎曲變形的能力的幾何量度。它僅與截面的形狀、尺寸及軸線的位置有關，與材料本身的物理性質無關。其英文對應術語通常為Area Moment of Inertia 或Second Moment of Area。

以下是其詳細解釋：

定義與物理意義：
- 幾何慣性矩描述了一個平面圖形（如梁的橫截面）圍繞某個特定軸（如中性軸）旋轉時，其面積分布相對于該軸的離散程度。
- 數值越大，表示面積分布離該軸越遠，截面抵抗圍繞該軸彎曲變形的能力就越強。它是計算梁在彎曲載荷作用下産生的應力和撓度的關鍵參數。
數學表達：
- 對于一個平面圖形，繞 x 軸的幾何慣性矩（通常表示為 (Ix) 或 (I{xx})）定義為： $$ I_x = int_A ydA $$ 其中：
  - (A) 是圖形的總面積。
  - (y) 是微面積 (dA) 到 x 軸的垂直距離。
  - 積分在整個面積 (A) 上進行。
- 同理，繞 y 軸的幾何慣性矩（(Iy) 或 (I{yy})）定義為： $$ I_y = int_A xdA $$ 其中 (x) 是微面積 (dA) 到 y 軸的垂直距離。
關鍵特性：
- 幾何屬性：僅取決于截面的形狀、尺寸和所選參考軸的位置，與材料的彈性模量、密度等物理屬性無關。
- 量綱：長度的四次方（如 m⁴, mm⁴）。
- 平行軸定理：如果已知截面繞通過其形心（質心）的軸的慣性矩 (I_{c})，則計算該截面繞任何與之平行的軸的慣性矩 (I) 的公式為： $$ I = I_c + A d $$ 其中 (A) 是面積，(d) 是兩個平行軸之間的距離。這個定理在工程計算中非常重要。
- 主軸：對于任何截面，都存在一對相互垂直的軸（稱為主軸），繞這對軸的慣性矩一個達到最大值，另一個達到最小值（且慣性積為零）。繞主軸的慣性矩稱為主慣性矩。
應用：
- 梁的彎曲應力計算：梁彎曲時橫截面上的正應力 (sigma) 計算公式為： $$ sigma = frac{My}{I} $$ 其中 (M) 是彎矩，(y) 是所求應力點到中性軸的距離，(I) 是截面對中性軸的幾何慣性矩。可見，(I) 越大，在相同彎矩下産生的彎曲應力越小。
- 梁的彎曲變形（撓度與轉角）計算：梁的撓度與轉角公式中也包含幾何慣性矩 (I)。(I) 越大，梁抵抗彎曲變形的能力越強，在相同載荷下撓度和轉角越小。
- 截面設計：工程師通過選擇具有較大慣性矩的截面形狀（如工字鋼、箱型梁）來設計更輕、更經濟的結構構件，使其能夠承受更大的彎曲載荷。
與質量慣性矩的區别：
- 幾何慣性矩（Area Moment of Inertia）描述的是面積的分布，用于計算彎曲問題。
- 質量慣性矩（Mass Moment of Inertia）描述的是質量的分布，用于計算物體繞軸旋轉時的動力學問題（如角加速度）。兩者名稱相似但物理意義和量綱不同，需注意區分。

常見截面幾何慣性矩公式示例：

矩形截面（寬 b，高 h，繞形心軸 x 軸）： $$ I_x = frac{bh}{12} $$
圓形截面（直徑 d，繞形心軸）： $$ I = frac{pi d}{64} $$

參考資料：

MIT OpenCourseWare - Mechanics of Materials: 提供了關于梁彎曲、應力和慣性矩的詳細講解和推導。來源：MIT OpenCourseWare (可搜索相關課程資料如 "Bending of Beams" 或 "Moments of Inertia")。
Engineering Toolbox - Area Moment of Inertia: 提供了常見截面幾何慣性矩的計算公式和簡要說明。來源：The Engineering Toolbox。
Wikipedia - Second moment of area: 提供了該概念的詳細定義、數學表達、性質和應用的綜合概述。來源：Wikipedia。

網絡擴展解釋

幾何慣性矩（又稱截面慣性矩或面積二次矩）是材料力學和結構工程中的重要概念，用于描述物體截面對彎曲變形的抵抗能力。以下是詳細解釋：

定義
幾何慣性矩是截面上各微面積與其到某軸距離平方乘積的積分，反映截面形狀對彎曲剛度的貢獻。其數學表達式為：
$$ I_x = int_A y , dA quad text{（對x軸的慣性矩）}
$$
其中，( y ) 是微面積 ( dA ) 到x軸的垂直距離。
物理意義
慣性矩越大，材料抵抗彎曲變形的能力越強。例如，工字梁的截面設計通過增大遠離中性軸的材料分布來提升慣性矩，從而增強抗彎性能。
常見截面公式

矩形截面（寬( b )、高( h )）：
$$ I_x = frac{b h}{12} $$
圓形截面（半徑( r )）：
$$ I_x = frac{pi r}{4} $$

應用場景

計算梁的彎曲應力（( sigma = frac{M y}{I} )）
分析結構穩定性（如柱體屈曲）
優化機械零件或建築構件的截面形狀

與轉動慣量的區别
幾何慣性矩基于面積分布，用于靜力學分析；轉動慣量基于質量分布，用于動力學中的旋轉問題。

單位：國際單位為 ( text{m} ) 或 ( text{mm} )。
注意：計算時需明确參考軸，不同軸的慣性矩可通過平行軸定理轉換。