克拉玛定理英文解释翻译、克拉玛定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 Kramer's theorem

分词翻译：

克拉的英语翻译：

carat; karat
【化】 carat
【医】 carat

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

克拉玛定理（Cramer's Theorem）是线性代数中的核心定理之一，用于求解包含相同数量方程和未知数的线性方程组。其定义为：若线性方程组$AX=B$的系数矩阵$A$可逆（即行列式$|A| eq0$），则该方程组存在唯一解，且每个未知数$x_i$的解可表示为$x_i=frac{|A_i|}{|A|}$，其中$A_i$是将矩阵$A$的第$i$列替换为常数列$B$后的新矩阵。

该定理的数学表达式为： $$ x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} $$ 其中$det(A)$为系数矩阵的行列式。克拉玛定理的应用场景需满足两个前提条件：1）方程组为方阵（方程数与未知数数量相等）；2）系数矩阵行列式非零。

在实际工程计算中，该定理因计算复杂度高（时间复杂度为$O(n!)$）而受限，常用于理论证明和小型方程组（$nleq3$）的求解。在统计学领域，其衍生形式可用于计算多元正态分布的条件协方差。

来源参考：

MIT线性代数公开课程
Springer《线性代数及其应用》第三版
美国数学学会(AMS)专题论文

网络扩展解释

克拉默法则（Cramer's Rule，也译作克拉玛定理或克莱姆法则）是线性代数中用于求解线性方程组的重要定理，适用于变量数与方程数相等且系数行列式非零的情况。以下是详细解释：

1.核心内容

当线性方程组的系数矩阵为方阵（即方程数与未知数数量相等），且其行列式不等于零时，方程组存在唯一解。解的每个未知数可表示为两个行列式的比值：

分母为系数矩阵的行列式 ( D )
分子是将系数矩阵中对应未知数的列替换为常数项后得到的行列式 ( D_i )

数学表达式为： $$ x_i = frac{D_i}{D} $$ 例如，对于方程组 ( AX = B )，若 ( D eq 0 )，则解为 ( x_i = D_i/D )，其中 ( D_i ) 是第 ( i ) 列被常数项替换后的行列式。

2.适用条件

方程与变量数量相等：系数矩阵必须是方阵。
行列式非零：( D eq 0 ) 是解存在且唯一的充要条件。若 ( D=0 )，则方程组可能无解或有无穷多解。

3.历史背景

该定理由瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）在1750年系统阐述，但莱布尼茨（1693年）和马克劳林（1748年）更早已知晓相关内容。克莱姆的贡献在于将其表述清晰化，推动了线性代数理论的发展。

4.优缺点

优点：理论简洁，明确展示解与行列式的关系，适用于小规模方程组或理论推导。
缺点：计算行列式的复杂度高（尤其是高阶矩阵），实际应用中效率低于高斯消元法。

5.示例说明

考虑方程组： $$ begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 a_2x + b_2y = c_2 end{cases} $$ 系数行列式 ( D = begin{vmatrix}a_1 & b_1a_2 & b_2end{vmatrix} )，则解为： $$ x = frac{begin{vmatrix}c_1 & b_1c_2 & b_2end{vmatrix}}{D}, quad y = frac{begin{vmatrix}a_1 & c_1a_2 & c_2end{vmatrix}}{D} $$

克拉默法则为线性方程组的求解提供了理论依据，但在实际计算中需权衡效率。建议结合教材或权威资源（如《线性代数》教科书）进一步理解行列式计算和矩阵性质的应用。