克拉瑪定理英文解釋翻譯、克拉瑪定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 Kramer's theorem

分詞翻譯：

克拉的英語翻譯：

carat; karat
【化】 carat
【醫】 carat

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

克拉瑪定理（Cramer's Theorem）是線性代數中的核心定理之一，用于求解包含相同數量方程和未知數的線性方程組。其定義為：若線性方程組$AX=B$的系數矩陣$A$可逆（即行列式$|A| eq0$），則該方程組存在唯一解，且每個未知數$x_i$的解可表示為$x_i=frac{|A_i|}{|A|}$，其中$A_i$是将矩陣$A$的第$i$列替換為常數列$B$後的新矩陣。

該定理的數學表達式為： $$ x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} $$ 其中$det(A)$為系數矩陣的行列式。克拉瑪定理的應用場景需滿足兩個前提條件：1）方程組為方陣（方程數與未知數數量相等）；2）系數矩陣行列式非零。

在實際工程計算中，該定理因計算複雜度高（時間複雜度為$O(n!)$）而受限，常用于理論證明和小型方程組（$nleq3$）的求解。在統計學領域，其衍生形式可用于計算多元正态分布的條件協方差。

來源參考：

MIT線性代數公開課程
Springer《線性代數及其應用》第三版
美國數學學會(AMS)專題論文

網絡擴展解釋

克拉默法則（Cramer's Rule，也譯作克拉瑪定理或克萊姆法則）是線性代數中用于求解線性方程組的重要定理，適用于變量數與方程數相等且系數行列式非零的情況。以下是詳細解釋：

1.核心内容

當線性方程組的系數矩陣為方陣（即方程數與未知數數量相等），且其行列式不等于零時，方程組存在唯一解。解的每個未知數可表示為兩個行列式的比值：

分母為系數矩陣的行列式 ( D )
分子是将系數矩陣中對應未知數的列替換為常數項後得到的行列式 ( D_i )

數學表達式為： $$ x_i = frac{D_i}{D} $$ 例如，對于方程組 ( AX = B )，若 ( D eq 0 )，則解為 ( x_i = D_i/D )，其中 ( D_i ) 是第 ( i ) 列被常數項替換後的行列式。

2.適用條件

方程與變量數量相等：系數矩陣必須是方陣。
行列式非零：( D eq 0 ) 是解存在且唯一的充要條件。若 ( D=0 )，則方程組可能無解或有無窮多解。

3.曆史背景

該定理由瑞士數學家加布裡埃爾·克萊姆（Gabriel Cramer）在1750年系統闡述，但萊布尼茨（1693年）和馬克勞林（1748年）更早已知曉相關内容。克萊姆的貢獻在于将其表述清晰化，推動了線性代數理論的發展。

4.優缺點

優點：理論簡潔，明确展示解與行列式的關系，適用于小規模方程組或理論推導。
缺點：計算行列式的複雜度高（尤其是高階矩陣），實際應用中效率低于高斯消元法。

5.示例說明

考慮方程組： $$ begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 a_2x + b_2y = c_2 end{cases} $$ 系數行列式 ( D = begin{vmatrix}a_1 & b_1a_2 & b_2end{vmatrix} )，則解為： $$ x = frac{begin{vmatrix}c_1 & b_1c_2 & b_2end{vmatrix}}{D}, quad y = frac{begin{vmatrix}a_1 & c_1a_2 & c_2end{vmatrix}}{D} $$

克拉默法則為線性方程組的求解提供了理論依據，但在實際計算中需權衡效率。建議結合教材或權威資源（如《線性代數》教科書）進一步理解行列式計算和矩陣性質的應用。