拉普拉斯算符英文解释翻译、拉普拉斯算符的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Laplacian

分词翻译：

拉普拉的英语翻译：

【计】 Laplace's law

斯的英语翻译：

this
【化】 geepound

算符的英语翻译：

【计】 OP; operator symbol
【化】 operator

专业解析

拉普拉斯算符（Laplace operator）是数学和物理学中的一个核心微分算子，在汉英词典中通常定义为对函数进行梯度的散度运算所得的二阶标量微分算子。其详细解释如下：

一、数学定义与表达式

笛卡尔坐标系中的形式
在三维直角坐标系中，拉普拉斯算符作用于标量函数 (phi(x,y,z)) 的表达式为：

$$

abla phi = frac{partial phi}{partial x} + frac{partial phi}{partial y} + frac{partial phi}{partial z} $$

其中 ( abla) 是算符的标准符号（也记作 (Delta)）。

一般坐标系下的推广
在曲线坐标系中，拉普拉斯算符可通过度量张量表示为：

$$

abla phi = frac{1}{sqrt{|g|}} partial_i left( sqrt{|g|} g^{ij} partial_j phi right) $$

其中 (g) 为度规张量行列式，(g^{ij}) 为其逆变分量。

二、物理意义与几何解释

梯度与散度的复合运算
拉普拉斯算符的本质是梯度的散度：( abla phi = abla cdot ( abla phi))。这表示它衡量函数在某点邻域内的平均变化率与其中心值之差，反映函数的"平滑度"或"波动性"。
二阶导数的多维推广
在物理中，它描述场量（如电势、温度）的空间二阶变化率，例如：
- 电势的拉普拉斯值正比于电荷密度（泊松方程）
- 热传导方程中表征温度随空间的扩散速率。

三、核心应用领域

经典物理方程
- 静电学：( abla V = -rho / varepsilon_0)（泊松方程）
- 流体力学：纳维-斯托克斯方程中的粘性项
- 量子力学：薛定谔方程的动能项 ( -frac{hbar}{2m} abla psi )
现代数学与工程
- 图像处理：边缘检测中的拉普拉斯滤波器
- 微分几何：黎曼流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子
- 机器学习：图神经网络中的图拉普拉斯矩阵。

四、汉英词典释义对照

中文术语	英文对应	学科领域
拉普拉斯算符	Laplace operator	数学/物理
调和算子	Harmonic operator	微分几何
二阶标量微分算符	Second-order scalar differential operator	向量分析

术语来源：定义参考《数学物理方法》（顾樵著，科学出版社）的微分算子章节；物理应用部分引自《Classical Electrodynamics》（J.D. Jackson, Wiley出版社）的场论推导。

网络扩展解释

拉普拉斯算符（Laplacian operator）是数学和物理学中的一个重要微分算子，通常用符号$ abla$或$Delta$表示。它是二阶微分算符，用于描述标量场在空间中的二阶变化率，广泛应用于电磁学、流体力学、量子力学等领域。

1.数学定义

拉普拉斯算符本质上是梯度（$ abla$）的散度（$ abla cdot$）的组合，即： $$ Delta f = abla cdot ( abla f) $$ 对于三维笛卡尔坐标系中的标量函数$f(x,y,z)$，其表达式为： $$ Delta f = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} $$

2.不同坐标系中的表达式

极坐标系（二维）：
$$ Delta f = frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left( r frac{partial f}{partial r} right) + frac{1}{r} frac{partial f}{partial theta} $$
球坐标系（三维）：
$$ Delta f = frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left( r frac{partial f}{partial r} right) + frac{1}{r sin theta} frac{partial}{partial theta} left( sin theta frac{partial f}{partial theta} right) + frac{1}{r sin theta} frac{partial f}{partial phi} $$

3.物理意义

拉普拉斯算符描述标量场的“扩散”或“聚集”特性：

若$Delta f > 0$，表示该点周围场的平均值高于该点，场在此处呈“发散”状态。
若$Delta f < 0$，则表示场在此处呈“汇聚”状态。

4.应用领域

电磁学：用于电势的泊松方程$Delta V = -rho/epsilon_0$，描述电荷分布与电势的关系。
热传导方程：$frac{partial u}{partial t} = alpha Delta u$，描述温度场的扩散。
量子力学：薛定谔方程中包含拉普拉斯项，如$-frac{hbar}{2m}Delta psi$表示粒子动能。
流体力学：纳维-斯托克斯方程中用于描述粘性力的作用。

5.数学性质

线性性：$Delta (af + bg) = aDelta f + bDelta g$（$a,b$为常数）。
各向同性：在笛卡尔坐标系下，拉普拉斯算符对空间方向无偏好。
本征函数：在特定边界条件下，拉普拉斯算符的本征函数构成正交基底（如傅里叶分析中的正弦/余弦函数）。

扩展说明

拉普拉斯算符的高维推广在机器学习（如图神经网络中的图拉普拉斯矩阵）和图像处理（边缘检测）中也有重要应用。其离散形式（如五点差分格式）是数值模拟中的常用工具。